K[x] può essere un campo?

[Mondo]

In generale abbiamo che se K è un campo, K[x] è dominio di integrità. Io mi chiedo se esiste un campo K tale che K[x] è pure un campo.

[irenze]

No. Se così fosse l'elemento $x \in K[x]$ dovrebbe essere invertibile, il che significa che dovrebbe esistere un polinomio $p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n$ tale che $x * p(x)$ sia identicamente $1$, cioè
$a_0 x + a_1 x^2 + ... + a_n x^(n + 1) \equiv 1$,
ma quando sostituisci il valore $0$ ottieni $0 = 1$, impossibile (non vale in nessun campo, perché lo $0$ non è mai invertibile).
Ovviamente ho usato $0$ e $1$ per significare gli elementi neutri in $K$ per somma e prodotto rispettivamente, non pensarli come numeri reali.