Esercizio sistema di congruenze

[corel_86]

Dato che sono stato aiutato da voi ho deciso di svolgere un esercizio di congruenze che mi è capitato in un compito (correggetemi se faccio eventuali errori)

Risolvere il seguente sistema di congruenze

${5x-=7(mod 3)
${25x-=4(mod 4)
${x-=1(mod 5)

semplificando e riducendo si ottiene il sistema equivalente

${x-=2(mod 3)
${x-=0(mod 4)
${x-=1(mod 5)

prendiamo l'ultima equazione

$x=1+5k$ e sostituiamo la x alla seconda equazione per trovare k

$x-=0 (mod 4)$ diventa

$1+5k-=0 (mod 4)$

$5k-=-1(mod 4)$

$k-=3 (mod 4)$

$k=3+4h$

adesso sostituiamo la k ad $x=1+5k$ e si ottiene

$x = 1+5(3+4h)

$x = 1+15+20h

$x = 16+20h$

sostituiamo la x alla prima equazione per trovare h

$x-=2(mod 3)$ diventa

$16+20h-=2(mod 3)$

$20h-=-14 (mod 3)$

$h-=2 (mod 3)$

$h=2+3t$

adesso sostituiamo la h ad $x=16+20k$ e si ottiene

$x=16+20(2+3t)

$x=16+40+60t

$x=56+60t

quindi in definitiva la soluzione del sistema di congruenze è

$x-=56 (mod 60)

e questo è tutto

[adaBTTLS]

$2x-=1(mod3)->2x-1+3-=0(mod3)->2(x+1)-=0(mod3)->x-=2(mod3)$
dunque
${[x-=2(mod3)],[x-=0(mod4)],[x-=1(mod5)] :}$

cerca di usare "-=" al posto delle tre linee all'interno delle formule.
è abbastanza faticoso riuscire a leggere. mi è parso che tu non abbia scelto la via più semplice...

rivedi il tutto, confronta i risultati anche con un altro metodo, ed eventualmente posta una nuova soluzione con i simboli giusti.
ciao.

[corel_86]

ho utilizzato il metodo di sostituzione........perchè secondo me ritengo che sia di facile intuito comunque ora sistemo i simboli non ho semplificato la prima equazione perchè non ho bisogno di applicare il teorema cinese del resto comunque anche se semplifico il risultato non cambia

[adaBTTLS]

ho visto, mi pare vada bene, però se prima semplifichi un po' di più è meglio. come ti ho scritto io ad esempio hai anche una visione più immediata del risultato.
che non hai scelto il metodo più semplice era per dire che sei partito dalla terza, mentre mi pare che la seconda sia più facile.
ai miei tempi si faceva così, tant'è vero che i nuovi metodi sembrano anche a me troppo meccanici e cervellotici, però ... non so che cosa voglia il vostro prof.!
ciao.

[corel_86]

d'accordo lo semplifico alla fine se rivedi i conti quando sostituisco alla prima la h devo solo moltiplicare per due però comunque come dici è meglio semplificare subito.....

[corel_86]

ecco fatto ho sistemato il tutto grazie e ciao

[adaBTTLS]

prego. ciao.

[merlo]

Scusate ma io proprio non riesco a capire come si semplifica all'inizio!!!
Come fa a far "sparire" i coefficienti della x?
Ci provo e ci roprovo ma proprio non ci arrivo!!!

Qualcuno che può spiegarmelo a livello dei bimbi delle elementari?

[Lord K]

Devi fare qualche MCD e qualche conticino, infatti:

$5x=7(3)$

dapprima passi ai rappresentanti di $5$ e $7$ in $ZZ_3$ visto che sono equivalenti:

$2x=1(3)$

Poi trovi l'inverso di $2$ che è $2$ stesso infatti $2*2=4=3*1+1$ e quindi:

$x=2(3)$

Analogo procedimento per gli altri.

[merlo]

Ho capito la parte iniziale...ma per trovare l'inverso di 2 devo usare il teorema di bezout?