Esercizio sistema di congruenze

[Lord K]

Io l'ho trovato ad occhio, ma effettivamente dovresti usare Bezout sapendo che $MCD(3,2)=1$

[adaBTTLS]

io non ho fatto con l'inverso, non lo so fare.
avevo $2x-=1(mod3)$
cioè $2x-1-=0(mod3)$ nel senso che, dal significato di congruenza, 2x-1 è multiplo di tre. se aggiungo 3 anche 2x-1+3 è multiplo di 3.
dunque $2x+2-=0(mod3)$, ma 2x+2=2(x+1), se è multiplo di 3 non lo è certo grazie al fattore 2, visto che MCD(2,3)=1, allora vuol dire che è multiplo di 3 il fattore (x+1). pertanto
$x+1-=0(mod3)$ e infine, sempre per definizione di congruenza, $x-=-1(mod3)$, ma se vogliamo usare un numero compreso tra 0 e 2, basta aggiungere
3 (-1+3=2)
la congruenza è ridotta a $x-=2(mod3)$
spero che così sia chiaro.
la risposta sull'eventuale ricerca dell'inverso interessa anche a me.
ciao.

[Lord K]

Avete che per il teorema di Bezout se abbiamo $MCD(a,b)=d$ allora $EE r,s in ZZ: ar+bs=d$

Da questo, nel caso semplice di $3$ e $2$:

$MCD(3,2)=1$

usiamo l'algoritmo di Euclide:

$3=2*1+1$
$2=1*2$

Da cui partendo dal basso ottengo con qualche sostituzione:

$2*2-3*1=1$

Ma questo in termini di congruenza $mod(3)$ non è niente altro che:

$2*2\equiv 1(3)$

Ovvero l'inverso di $2$ in modulo $3$ è $2$ stesso.

Tutto chiaro? Se sì tentate facendo lo stesso e trovando l'inverso di $13$ modulo $31$

[adaBTTLS]

mi sono "scervellata", alla fine credo di aver capito, ma mi pare un modo troppo meccanico che ti fa perdere il filo del discorso...
grazie mille comunque!

ciao. metto il "mio" risultato in spoiler:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

12

[merlo]

io invece contiunuo a non capirci un tubo...

[adaBTTLS]

prova a vedere qui:

http://www.dm.unipi.it/~abbondandolo/di ... congru.pdf

http://www.mat.uniroma1.it/people/campa ... aparte.pdf

se vuoi chiarimenti sui passaggi che ho riportato nel secondo post di questa pagina, chiedi pure.
se vuoi sapere come ho ottenuto il risultato in spoiler relativo all'esercizio più complesso proposto da LordK, dillo pure.
ciao.

[corel_86]

provo a rispondere io a merlo che effettivamente è un po' complicato anche io avevo le stesse difficoltà:

allora supponiamo di avere la seguente congruenza:

$5x -= 3 (mod 9)

dobbiamo calcolarci l'inverso moltiplicativo di 5 modulo 9, cioè quel numero che moltiplicato per 5 da 1 modulo 9. il numero in questione è 2 perché se moltiplichiamo

5*2=10 risulta uguale a 1 mod 9

quindi si ha $2*5x=3*2 (mod 9)

$10x-=6 (mod 9)$

fino a qui tutto ok?

adesso scriviamo l'ultima equazione cosi: $9x+x-= 6 (mod 9)

ed essendo (mod 9) 9x lo possiamo semplificare quindi in definitiva abbiamo:

$x-= 6 (mod 9)

ritornando all'esecizio l'equazione era

$5x-=7 (mod 3)$ la scriviamo in questo modo

$2x+3x-= 3+3+1 (mod 3)$ semplifichiamo

$2x-=1 (mod 3)

calcoliamo l'inverso moltiplicativo cioè quel numero che moltiplicato per 2 da 1 modulo 3 in questo caso è 2 perchè

$2x*2-=1*2 (mod 3)$ quindi

$4x-=2 (mod 3)$ cioè

$3x+x -= 2 (mod 3)$ quindi in definitiva

$x-=2 (mod 3)

tutto chiaro? se hai difficoltà dimmi pure ciao......

[corel_86]

moderatori vedete se quello che ho scritto sopra è giusto xke finora non ha risposto nessuno.........

[merlo]

@corel_86

Grazie!!!!!!!!!!!Finalmente è tutto chiaro!!!
Adesso provo a fare un pò di esercizi!!!

[Lord K]

Non sono un moderatore ma è corretto il tuo ragionamento!