algebra ideali

[manu0103]

salve ho un ideale I generato da (x)+(2) e consideriamo l anelllo Z[x] dei polinomi. l' esercizio mi chiede se l' ideale generato solo da (x) è massimale.visto ke è irriducibile io avrei risposto ke si è massimale invece la soluzione dice ke non è massimale perchè si ha (x)C I C Z[x], quindi 1∈Z[x]\I. qualcuno mi sa spiegare cosa intende?grazie

[alvinlee88]

Ciao. Intanto ha poco senso dire "l'ideale generato da (x) + (2)", anzi diciamo che proprio non ha senso. Sicuramente
intendevi l'ideale generato da $x$ e da $2$, ossia $I=(x,2)$.
Poi, anche se x è irriducibile, non vuol dire che l'ideale sia massimale, vuol soltanto dire che è massimale fra gli ideali principali, ovvero generati da un solo elemento.
Però qui non siamo in un dominio a ideali principali, quindi esistono eccome ideali non principali, e in questi non è detto che $(x)$ sia massimale.
Infatti essere massimale vuol dire che non esiste nessun ideale che lo contiene, a eccezione dell'anello stesso, nel nostro caso $Z[x]$. Qui invece esiste un ideale che contiene $(x)$ ma che non è tutto l'anello, ed è proprio $I$.
infatti $I$ contiene ovviamente $(x)$, ma non è tutto $Z[x]$ perchè i polinomi in $I$ hanno termini noti pari, quindi tutti i polinomi con termini noti dispari non stanno li dentro. In particolare non ci sta il polinomio costante $1$, come scritto nella soluzione.

[manu0103]

mi dispiace se nn ha senso ma il testo dell' esercizio è esattamente come l' ho scritto io

[apatriarca]

Non è l'ideale generato da $(x) + (2)$ ma è l'ideale $(x) + (2)$. $(x)$ e $(2)$ non sono elementi dell'anello ma ideali. $(x) + (2)$ è l'ideale somma e cioè l'ideale $\{a + b | a \in (x), b \in (2) \}$

[NightKnight]

Intanto ha poco senso dire "l'ideale generato da (x) + (2)", anzi diciamo che proprio non ha senso. Sicuramente
intendevi l'ideale generato da $x$ e da $2$, ossia $I=(x,2)$.

Sul fatto che abbia poco senso siamo d'accordo, ma sul fatto che "proprio non ha senso" no! Se $I$ è un ideale, posso considerare l'ideale generato da $I$; ovviamente coinciderà con $I$ stesso, ma si può dire!