Iniettività dell'omomorfismo tra un campo e un anello

[Mondo]

Sia $f: K \rightarrow S$ un omomorfismo di anelli con K campo e $0 \ne 1$ in S. Mostrare che f è iniettivo

[apatriarca]

Devi semplicemente ragionare sul nucleo dell'omomorfismo. Il nucleo è sempre un ideale, quindi in un campo può essere solo {0} o tutto il campo, ma in questo caso sai che almeno 1 non ha immagine 0 in S e quindi deve essere necessariamente ker(f) = {0} e quindi l'omomorfismo è iniettivo.

[maurer]

Io non sono d'accordo con apatriarca...
Ci sono delle ipotesi aggiuntive che devono essere verificate per poter concludere che l'immagine dell'unità di K è l'unità di S. In particolare un omomorfismo di anelli trasforma sicuramente l'unità nell'unità se: 1) entrambi gli anelli sono dotati di unità (e questo è verificato); 2) l'omomorfismo in questione non è nullo (e qui niente ci autorizza ad assumerlo); 3) o l'omomorfismo è un epimorfismo (cioè è suriettivo), oppure il codominio è un dominio integro (neanche qui nulla ci autorizza a pensarlo).
Se queste ipotesi sono verificate, allora la dimostrazione di apatriarca è corretta; d'altra parte, senza queste ipotesi non so andare avanti.

[NightKnight]

Dipende dalla definizione di omomorfismo di anelli..
per alcuni nella definizione di anello si richiede che abbia l'elemento neutro del prodotto e nella definizione di omomorfismo si richiede che l'identità del primo anello venga mandata nell'identità del secondo.
per altri invece queste condizioni non sono richieste: ad esempio $f : ZZ // 6ZZ -> ZZ // 6ZZ \ , \ x |-> 3x$ è un omomorfismo di anelli che manda l'identità del primo in un elemento diverso dall'identità.

[apatriarca]

Io non sono d'accordo con apatriarca...
Ci sono delle ipotesi aggiuntive che devono essere verificate per poter concludere che l'immagine dell'unità di K è l'unità di S. In particolare un omomorfismo di anelli trasforma sicuramente l'unità nell'unità se: 1) entrambi gli anelli sono dotati di unità (e questo è verificato); 2) l'omomorfismo in questione non è nullo (e qui niente ci autorizza ad assumerlo); 3) o l'omomorfismo è un epimorfismo (cioè è suriettivo), oppure il codominio è un dominio integro (neanche qui nulla ci autorizza a pensarlo).
Se queste ipotesi sono verificate, allora la dimostrazione di apatriarca è corretta; d'altra parte, senza queste ipotesi non so andare avanti.

Quando ho studiato gli anelli la proprietà di un omomorfismo di mandare l'unità nell'altra unità (nel caso ovviamente di anelli entrambi con unità) veniva inclusa nella definizione. Ritengo comunque sia il caso anche di Mondo.

[maurer]

Sì, ho capito la questione... Noi abbiamo parlato di "anelli con unità", mentre la definizione generale non prevedeva l'inclusione di unità. E per quanto riguarda gli omomorfismi valeva la proprietà alle condizioni di cui sopra... è estremamente probabile che anche Mondo abbia tali definizioni, perché altrimenti le ipotesi del suo problema sembrerebbero essere insufficienti...

[NightKnight]

Ritengo comunque sia il caso anche di Mondo.

Sicuramente! altrimenti f non necessariamente è iniettivo.