Diofantea ed equazioni in $Z_32$

[lewis]

Ciao.
Scusatemi: ho un'altra domanda...so che non ne potrete più di me (tanto più che le mie domande vi sembreranno banali), ma ho davvero bisogno di capire (e capire se ho capito!!)

a)Risolvere l'equazione diofantea 32x + 4y =12

b)In $Z_32$ risolvere l'equazione 10x=0

c) In $Z_32$ determinare l'inverso di 9 e risolvere l'equazione 9x=6.



Allora: qualcosa ho fatto, dell'esercizio (spero giusto).
a)Entrambi i coefficienti sono divisibili per 4 quindi:
$\{(x=k),(y=3-8k):}$ , ammette infinite soluzioni? (e l'avrei concluso così...o manca qualcosa?)

b) ehm...non so da che parte cominciare

c) Dopo le dovute sostituzioni, ho trovato che $\bar 9$ =7 , quindi l'equazione risulta
$\bar 9$*9x=$\bar 9$*6mod32, dunque x=10mod32

Mi potreste aiutare con il punto b (ed eventualmente dirmi se ho commesso errori madornali)?
Grazie mille per l'aiuto (come sempre)

Ciao

[Lord K]

Caso a)

Non ti viene chiesto se ha o meno soluzioni, ma quale di queste sono! E' giusto dire che esistono e sono infinite, ma ti serve sapere come sono fatte!

Allora:

$32x+4y=12$

Che è equivalente a:

$8x+y=3$

Allora le soluzioni sono semplicemente le coppie del tipo $(t,3-8t)$

Infatti:

$32*t+(3-8t)*4 = 32*t+12-32*t = 12$

Caso b)

Abbiamo che:

$10x \equiv 0(32)$

Ovvero in altre parole:

$10x = lambda*32$

divido per $2$:

$5x = lambda*16$

Allora

$x = lambda/5 *16$

ovvero $lambda\equiv 0(5)$ ed allora $x \equiv 0 (16)$.
Infatti:

$10*16*k = 160*k = 32*5*k \equiv 0 (32)$

Caso c)

Come da precedenti post abbiamo che $MCD(32,9)=1$ allora

$32=3*9+5$
$9=1*5+4$
$5=4*1+1$
$4=1*4$

tornando indietro posso scrivere:

$32*2-7*9 =1$

Ovvero:

$(-7)*9 \equiv 1(32)$
$25*9 \equiv 1(32)$

L'equazione diventa quindi:

$9x \equiv 6 (32)$
$x \equiv 6*25 (32)$
$x \equiv 22 (32)$

infatti:

$22*9 = 198 = 6*32 + 6 \equiv 6 (32)

Consigli generali:
1- Verifica sempre quanto da te trovato, di solito il problema è semplice.
2- La via più semplice di solito (negli esercizi) è la via giusta.
3- Leggi la mia firma e non preoccuparti delle domande siamo qui per risponderti.

[lewis]

Ciao. Innanzitutto grazie per la risposta.
Ma scusa...nel punto c), quando scrivo:
$32*2-7*9 =1$ ,
l'inverso di 9 è (32 - 7)=25? Se sì, ecco perchè sbagliavo al punto c): avevo considerato 7 come inverso di 9!!!
Ops...