Problema induzione

[corel_86]

non c'è niente da fare sono completamente negato con queste induzioni

ecco i miei problemi:

1) Provare che $n^3-n$ è divisibile per 3 per ogni n appartente a N

2) Provare che $5^n-1$ è divisibile per 4 per ogni n appartente a N

vi ringrazio anticipatamente............

[Tipper]

1) Se $n = 0$ ok. Supponiamo che $n^3 - n$ sia divisibile per $3$, ossia supponiamo che esista $k_n \in \mathbb{N}$ tale che $n^3 - n = 3 k_n$, allora

$(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3 n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3 n^2 + 3 n - n = (n^3 - n) + 3 (n^2 + n) = 3 k_n + 3 (n^2 + n) = 3 (k_n + n^2 + n)$

Posto $k_{n+1} = k_n + n^2 + n$ allora $(n+1)^3 - (n+1) = 3 k_{n+1}$, da cui segue che anche $(n+1)^3 - (n+1)$ è divisibile per $3$.

2) Se $n=0$ ok. Supponiamo che $5^n - 1$ sia divisibile per $4$, ossia che esista $k_n \in \mathbb{N}$ tale che $5^n - 1 = 4 k_n$, allora

$5^{n+1} - 1 = 5 \cdot 5^n - 1 = 5 (5^n - 1 + 1) - 1 = 5 (4 k_n + 1) - 1 = 20 k_n + 4 = 4 (5 k_n + 1)$

Posto $k_{n+1} = 5 k_n + 1$ risulta $5^{n+1} - 1 = 4 k_{n+1}$, quindi anche $5^{n+1} - 1$ è divisibile per $4$.

[corel_86]

che cos'è quel $k_n?$ scusa la mia ignoranza.......

[Tipper]

Un intero non negativo.

[Tipper]

Voglio dire, se $a$ e $b$ sono due interi, dire che $b$ è divibisibile per $a$ significa dire che esiste un intero $k$ tale che $b = k a$.

[corel_86]

non ho tempo per analizzarlo con attenzione ma ho visto che il calcolo è molto semplice ti ringrazio........poi domani per gratitudine posto qualche esercizio che ho già svolto per i fatti miei con la speranza che a qualcuno possa servire.......

ciao e grazie ancora

[seascoli]

Corel_86 ha scritto: "non ho tempo per analizzarlo con attenzione ..."
Che cosa è che non hai tempo di analizzare con attenzione? Non c'è nulla da analizzare ...
a meno che tu non ti riferisca all'aggettivo usato da Tipper: "voglio .... dire che b è divibisibile "
Restiamo in ansiosa attesa dei tuoi "esercizi svolti"

[corel_86]

era inteso per il fatto che ieri me ne stavo andando via per questo ho detto non ho tempo di analizzarlo......non volevo criticare nessuno ne tantomeno insultare....

[corel_86]

ritornado all'esercizio......

quando scriviamo che $n^3 - n= 3k_n$ significa che $n^3-n$ e divisibile per tre cioè vale a dire (correggimi se sbaglio)

$n^3-n-=0 (mod 3)$ giusto?

[Tipper]

Sì.