teoria dei gruppi finiti

[miles_davis]

1. Sia G un gruppo tale che G/Z(G) è ciclico. Mostrare che G è commutativo
2. Il centro di un p-gruppo non è mai banale
3. Un gruppo di ordine $p^2$ è commutativo
4. Se G è un gruppo di ordine $p^2$ allora o è isomorfo a $ZZ$/$p^2ZZ$ o a $ZZ$/$pZZ$ x $ZZ$/$pZZ$

[vict85]

Sono dimostrazione abbastanza base... Comunque dò qualche aiuto...

1) ogni elemento di G può essere scritto come $g^nZ(G)$, quindi pensa cosa significa moltiplicare due elementi con quella forma, tenendo conto che $Z(G)$ è normale e abeliano.
2) Il centro è il kernel dell'azione di coniugio... leggiti questo per il resto: http://en.wikipedia.org/wiki/Class_equa ... s_equation
3) Puoi usare l'1 e il 2. Nel senso che se $|Z(G)|=p$ allora il quoziente è ciclico e per l'1 il gruppo è abeliano (e per il 2 il centro non è banale). Oppure puoi cercare di calcolare il centralizzante di ogni elemento e calcolare quindi il centro del gruppo.
4) Consideri un elemento non nullo $g$ e il sottogruppo ciclico da lui generato. Se ha ordine $p^2$ hai finito. Supponi quindi sia $p$, dato che per il 3 è abeliano $<g>$ è normale e il quoziente è ciclico. Ora prova a capire come andare avanti...
HINT: cos'é un addendo diretto di un gruppo?

[miles_davis]

grazie, ma mi sono bloccato sul primo punto, gli altri li ho fatti...
mi sapresti dare qualche dettaglio in più sul primo? grazie

[vict85]

Se $G//Z(G)$ è ciclico e $gZ(G)$ un suo generatore allora ogni elemento di $G//Z(G)$ può essere scritto come $(gZ(G)))^n = g^nZ(G)$ per qualche $n$.

Quindi ogni elemento di $G$ può essere scritto come una potenza di $g$ per un elemento di $Z(G)$. Ora dati $z_1, z_2 \in Z(G)$ e $n_1, n_2 in ZZ$ allora $g^(n_1)z_1g^(n_2)z_2 = g^(n_1)g^(n_2)z_1z_2 = g^(n_2)g^(n_1)z_2z_1 = g^(n_2)z_2g^(n_1)z_1$