Esistenza ed unicità

[SRV]

A giorni avrò l'esame orale di geometria in cui me la cavo piuttosto bene...L'unica cosa che non so è il teorema di esistenza ed unicità dell'omomorfismo non riesco a trovarlo nè su internet nè sul libro!!! Voi ne sapete qualcosa?

[miuemia]

e cosa dice questo teorema?
potresti scriverlo per benino ?

[SRV]

dice che dati due spazi e fissata una base in V con n vettori e m vettori a caso in arrivo cioè in W allora esiste ed è unica la f che manda v (vettore appartenente a V)in w (vettore appartenente a W)

[miuemia]

beh è una cosa immediata in quanto ogni applicazione lineare è definita completamente dai valori che assume su una base.

[SRV]

si ma se tu non la hai la applicazione come fai dirne l'esistenza?

[Megan00b]

Usando il teorema di cui stai parlando: è una delle cose che vuoi dimostrare. Lo trovi anche come "teorema fondamentale sulle applicazioni lineari" o roba simile. Ad esempio sul Lang è il teorema 1 nel capitolo delle applicazioni lineari.
La dimostrazione dell'esistenza si fa in breve così:
vuoi una mappa che mandi $v_i$ in $w_i$ per ogni i.
Allora definisci per ogni vettore X in partenza $X=a_1v_1+...+a_nv_n$ (nota che ${v_i}$ è una base per ipotesi)
$F(X)=a_1w_1+...+a_nw_n$. Verifichi che così definita un'applicazione è lineare o se lo preferisci è un omomorfismo di spazi vettoriali.