chiarimento su esercizio induzione.

[cloe009]

Ciao a tutti,

dall'esempio che scriverò ci sono alcuni passaggi poco chiari che indicherò. Potreste per cortesia aiutarmi? Grazie mille!
Ecco l'esempio che posto per intero per completezza:

Dimostriamo per induzione che $AA n \in NN\\{0}, \sum_{t=1}^n t*2^t = (n-1)*2^(n+1)+2$. L'uguaglianza è vera per $n=1$; supponiamola dunque vera per $h$ e dimostriamola per $h+1$. Risulta:
$\sum_{t=1}^(h+1) t*2^t = \sum_{t=1}^h t*2^t + (h+1)*2^(h+1) = (h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)=2^(h+1)*[(h-1) + (h+1)] + 2=2^(h+1)*2h+2=h*2^(h+2)+2=((h+1)-1)*2^(h+2)+2$.


è qui che non capisco.... da dove è uscito $(h-1)*2^(h+1)+2$?:
$(h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)$

presumo che poi capito questo passaggio il resto viene da se...
spero possiate aiutarmi.
grazie.

[adaBTTLS]

l'espressione che non ti spieghi è stata sostituita alla sommatoria fino ad h per l'ipotesi induttiva. tu stai supponendo che la tesi sia vera per n=h e vuoi verificarla per n=h+1. è chiaro? ciao.

[cloe009]

sì, ho capito cosa deve dimostrare e ho capito dove ha sostituito ma non ho capito come ha sotituto. Con quali passaggi ottengo quel risultato?

[adaBTTLS]

Ciao a tutti,

dall'esempio che scriverò ci sono alcuni passaggi poco chiari che indicherò. Potreste per cortesia aiutarmi? Grazie mille!
Ecco l'esempio che posto per intero per completezza:

Dimostriamo per induzione che $AA n \in NN\\{0}, [\sum_{t=1}^n t*2^t = (n-1)*2^(n+1)+2]$. L'uguaglianza è vera per $n=1$; supponiamola dunque vera per $h$ e dimostriamola per $h+1$. Risulta:
$\sum_{t=1}^(h+1) t*2^t =[ \sum_{t=1}^h t*2^t ]+ {(h+1)*2^(h+1)}=$(*) $= [(h-1) * 2^(h+1)+2]+{(h+1)*2^(h+1)}=2^(h+1)*[(h-1) + (h+1)] + 2=2^(h+1)*2h+2=h*2^(h+2)+2=((h+1)-1)*2^(h+2)+2$.


è qui che non capisco.... da dove è uscito $(h-1)*2^(h+1)+2$?:
$(h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)$

presumo che poi capito questo passaggio il resto viene da se...
spero possiate aiutarmi.
grazie.

(*) la sommatoria di (h+1) termini è stata spezzata nella sommatoria dei primi h termini (tra parentesi quadre) e nell'ultimo termine (tra parentesi graffe) ed è stata sostituita la parentesi quadra con il termine immediatamente dopo l'asterisco, sempre tra parentesi quadre, in virtù dell'uguaglianza scritta nel testo (sempre tra parentesi quadre) con n al posto di h (l'uguaglianza con n=h, cioè con h al posto di n, è garantita dall'ipotesi induttiva. in questo passaggio non c'è veramente nulla da capire, a parte l'ipotesi induttiva. se invece fosse poco chiaro il passaggio successivo, fammi sapere.
ciao.

[cloe009]

cazzarola... è vero. Ti ringrazio. Sì un ultimo dubbio lo trovo al penultimo passaggio.
Perchè la $h$ viene poi sostituita nella forma $((h+1)-1)$, a che scopo?

[adaBTTLS]

perché in questo caso al posto di n hai h+1, quindi è per confrontarla con la formula generale, dove c'è n-1.
al limite, anche $2^(h+2)$ si sarebbe dovuto scrivere $2^((h+1)+1)$...
è chiaro? ciao.

[cloe009]

E' chiarissimo. Ti ringrazio per la chiara spiegazione e scusami per aver fatto domande con risposte ovvie... ma mi era sfuggito per davvero :+)
Grazie ancora!!

[adaBTTLS]

prego!