trovare gli elementi primi nell'anello $ZZ[sqrt7]$

[fu^2]

Un esercizio non banale di cui sono riuscito a trovare la soluzione; ora posso quindi proporlo al resto del mondo. è interessante perchè questi tipi di anelli mi avevano colpito la prima volta che li vidi, in quanto un primo non era più primo... e non c'era più nulla di fattoriale !

venendo a noi:

Sia $p$ un primo in $ZZ$. Dimostrare che $p\in ZZ[sqrt7]$ è primo se e solo se $x^2+7$ è irriducibile in $F_p$. con $F_p$ il campo di $p$ elementi.

Dove $ZZ[sqrt7]:=ZZ+isqrt7.ZZ$.

domanda (su cui devo ancora ragionare, però inizio a buttarla li): per quali $q\in ZZ$ vale ancora l'asserto? (cioè sostituendo il 7 con un generico $q$, per quali di essi varrà ancora l'asserto? solo quelli primi? e per $q=1$? (interi di gauss))