sia data la definizione di reticolo:
Un insieme parzialmente ordinato $(L,<=)$ si dice un reticolo se $AA x,y \in L, {x,y} sube L$ ha estremi superiore e inferiore in $L$.
L'estremo superiore se esiste è unico, e lo stesso avviene per l'estremo inferiore.
Se $x,y$ sono elementi di un insieme parzialmente ordinato denotiamo l'estremo inferiore di ${x,y}$ con $x^^y$ e l'estremo superiore di ${x,y}$ con $xvvy$.
Ricordando le definizioni di estremo superiore ed inferiore si ha:
un insieme parzialmente ordinato $(L, <=)$, è un reticolo se e solo se $AA x,y \in L, EE x vv y, x ^^ y \in L$ tali che:
(1) $x<=x vv y, y<=x vv y$;
(2) se $z \in L, x<=z, y<=z \Rightarrow xvvy<=z$;
(3) $x^^y<=x, x^^y<=y$;
(4) se $z \in L, z<=x, z<=y \Rightarrow z<=x^^y$.
ho delle difficoltà a capire completamente la seguente dimostrazione:
se $x,y$ sono elementi di un insieme parzialmente ordinato $A$, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(a) $x^^y=x$;
(b) $x<=y$;
(c) $xvvy=y$.
(a)$\Rightarrow$(b) Dato che si ha sempre $x^^y<=y$, dalla (a) segue che $x<=y$.
(b)$\Rightarrow$(a) Per dimostrare che $x^^y=x$ si deve far vedere che $x<=x$, che $x<=y$ e che
se $z \in A, z<=x$ e $z<=y, \Rightarrow z<=x$. Queste tre condizioni sono tutte evidentemente verificate sotto l'ipotesi (b).
(b)$\Rightarrow$(c) Per dimostrare che $xvvy=y$ si deve far vedere che $x<=y$, che $y<=y$, e che se $z \in A, x<=z$ e $y<=z, \Rightarrow y<=z$. Queste condizioni sono tutte evidentemente verificate sotto l'ipotesi (b).
(c)$\Rightarrow$(b) Dato che si ha sempre $x<=xvvy$ dalla (c) segue che $x<=y$.
quindi la (a)$\Rightarrow$(b) e (c)$\Rightarrow$(b) penso siano immediate.
è quando dice che :
.Queste tre condizioni sono tutte evidentemente verificate sotto l'ipotesi (b)
potreste dirmi per favore in che modo 'si deve far vedere' (in (b)$\Rightarrow$(a) e in (b)$\Rightarrow$(c)) quelle tre condizioni di sopra e perchè sono così tanto evidenti sotto l'ipotesi (b)?
grazie mille.
