Esercizio su applicazioni lineari

[merlo]

Devo risolvere questo esercizio:

Sia f : R3 -> R3 l’applicazione tale che
f((x, y, z)) = (x − y + 2z, Ky, Kx − y + 3z).
-Verificare che f è lineare.
-Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (B =
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) come base dello spazio di partenza e alla
base canonica (B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) come base dello spazio
di arrivo.

Aiutatemi per favore!!!Mercoledì ho l'esame!!!

[merlo]

Saranno pur facili ma io non le sò fare!!!!:(

[merlo]

Ok forse ci sono per il secondo punto...

Praticamente tutto ciò che c'è scritto li vuol dire che devo scrivere lamatrice che ha per termini i coefficienti delle incognite...giusto?

[merlo]

E allora andiamo con calma.
Per dimostrare che $f$ è lineare..... si deve cominciare dalla definizione di applicazione lineare.
1) Qual è questa definizione?
2) Come dimostri, sulla base della definizione, che $f$ è lineare?

Prova a rispondere almeno alla prima domanda.

1) Siano V e V1 due spazi vettoriali sopra il campo R e f una applicazione da V a V1, si dice che f è una applicazione lineare se verifica le seguenti condizioni:
- per ogni v,w appartenenti a V: f(v+w)=f(v)+f(w)
-per ogni £(alfa) appartenente ad R, per ogni v appartenente a V: f(£v)=£f(v)

è giusto?


Per il secondo punto non ho idea di come procedere

[merlo]

È giusto. E ora applica la definizione.
Siano $v_1=(a,b,c)$, $v_2=(d,e,f)$.
$f(v_1)=(a-b+2c,kb,ka-b+3z)$
$f(v_2)=(d-e+2f,ke,kd-e+3f)$

a) $f(v_1+v_2)=f(a+d,b+e,c+f)=?$

b) $f(\theta v_1)=f(\theta a,\theta b,\theta c)=?$

Mi dispiace ma non so farlo e mercoledì ho l'esame!!
Aiutoooooooo!!!

[merlo]

Ci sono!!!!

Allora:
a)
f(v1+v2)=(a-b+2c,kb,ka-b+3c)+(d-e+2f,ke,kd-e+3f)=
=(a-b+2c+d-e+2f,kb+ke,ka-b+3c+kd-e+3f)=
=((a+d)-(b+e)+2(c+f),k(b+e),k(a+d)-(b+e)+3(c+f))=
=f((a+d),(b+e),(c+f))

Se è giusta questa sono sicurissimo di aver fatto bene anche l'altra...
Ho capito come dimostrare che f è lineare ma per il secondo punto dell'esercizio?

[merlo]

[quote="Sergio"
a) quando cerchi una matrice associata a basi canoniche puoi evitare di cercare le coordinate dei vettori rispetto alle basi, perché le coordinate coincidono con gli elementi; ad esempio, le coordinate del vettore $(1,2,3)$ rispetto alla base canonica sono proprio $(1,2,3)$;
[/quote]

e se invece mi tocca cercare la matrice associata ad una base non canonica?
per esempio se al posto della base canonica in questo caso la base fosse ${(2,1,0),(1,1,1),(0,3,4)}$?

[merlo]

[quote="SergioAd esempio, se $v=(1,2,3)$, per trovare l'applicazione che trasforma $v$ in qualche altra cosa, ad esempio $f(v)=(3,4,6)$, devi lavorare sulle coordinate rispetto alla base.
Immaginiamo sempre che l'applicazione sia da $RR^3$ in $RR^3$ e che le basi di partenza e di arrivo siano uguali, e uguali a quella che hai dato tu. Devi passare da:
$v \mapsto f(v)$
a $Ax=y$, dove $x$ è il vettore delle coordinate di $v$, $y$ il vettore delle coordinate di $f(v)$, rispetto alla base.
In questo caso, le coordinate di $v$ sono $x=(-1,3,0)$, perché $(1,2,3)=-(2,1,0)+3(1,1,1)$; quelle di $y=(3,4,6)$ sono $y(-5"/"2,8,-1"/"2)$, perché $(3,4,6)=-5/2(2,1,0)+8(1,1,1)-1/2(0,3,4)$.[/quote]

Non mi è chiaro questo ultimo passaggio...
in particolare quelle frazioni non riesco a capire da dove vengono...

[merlo]

Non mi è chiaro questo ultimo passaggio...
in particolare quelle frazioni non riesco a capire da dove vengono...

Da semplici sistemini.
Perché $x$ sia il vettore delle coordinate di $v$ rispetto ad una base, gli elementi di $x$ devono essere i coefficienti della combinazione lineare degli elementi della base che dà $v$. Quindi si parte da:
$v=((1),(2),(3))=a((2),(1),(0))+b((1),(1),(1))+c((0),(3),(4))$
e si imposta il semplice sistemino:
${(2a+b=1),(a+b+3c=2),(b+4c=3) :}$
Risolvendolo si trovano $a,b,c$, coordinate di $v$ rispetto alla base, quindi elementi di $x$.

Ti avevo chiesto questo perchè il seguente punto dell'esercizio dice:
Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B' come base dello
spazio di partenza e alla base canonica B come base dello spazio di
arrivo.

E non riesco a capire come fare!!!

[merlo]

Non capisco da dove andare a prendere la base B'?