definizione di $A\subset B$

[qxtr01]

dunque sappiamo che:
- $A\subseteq B\iff\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$
- $A=B\iff\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$

ora vorrei definire che cosa voglia dire l'espressione $A\subset B$.

potrei dire indifferentemente che:
a) $A\subset B$ equivale a $A\subseteq B\wedge A\ne B$ che equivale a $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\not\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$
oppure direttamente.
b) $A\subset B$ equivale a $forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\exists x(x\in B\wedge x\notin A)$

quello che non riesco a fare è dimostrare che a) e b) si equivalgono, ed in particolare che $\not\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$ equivale a $\exists x(x\in B\wedge x\notin A)$.

vi dico cosa ho provato a fare:

$\not\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$ equivale a dire $\exists x(\not(x\in A\leftrightarrow x\in B))$.
a questo punto dovrei semplicemente dimostrare che $\exists x(\not(x\in A\leftrightarrow x\in B))$ equivale a $\exists x(x\in B\wedge x\notin A)$, cioè che $\not(A\leftrightarrow B)$ equivale a $B\wedge\not A$. peccato però che le due proposizioni precedenti non abbiano la stessa tabella di verità...

cosa sbaglio?

grazie.

[adaBTTLS]

in a) hai lasciato il se e solo se nell'ultima parentesi, che lì non è sbagliato ma si basa sull'affermazione precedente.
se invece lo isoli non è equivalente al fatto che esiste un elemento di B che non appartiene ad A, ma potrebbe anche essere il contrario.
spero sia chiaro. ciao.

[qxtr01]

non riesco proprio a capire perchè il punto a) non è corretto... cosa avrei dovuto scrivere invece? grazie.

[adaBTTLS]

potrei dire indifferentemente che:
a) $A\subset B$ equivale a $A\subseteq B\wedge A\ne B$ che equivale a $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\not\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$
oppure direttamente.
b) $A\subset B$ equivale a $forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\exists x(x\in B\wedge x\notin A)$

quello che non riesco a fare è dimostrare che a) e b) si equivalgono, ed in particolare che $\not\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$ equivale a $\exists x(x\in B\wedge x\notin A)$.

è corretto a), è corretto b), ma non è corretta la conclusione: tu pretendi di verificare che $A != B$ equivale a "esiste un elemento di B che non appartiene ad A" ...
perché, se fosse $B\subsetA$ anziché il contrario, continuerebbe ad essere vera $A != B$ mentre l'altra affermazione sarebbe falsa ...

come ti ho detto nel post precedente, le due affermazioni non sono equivalenti, nonostante siano equivalenti quelle "composte" con l'altra affermazione che caratterizza l'inclusione di A in B: $A\subseteq B$, cioè $forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$.

[qxtr01]

allora ci ho ragionato un po' su e sono arrivato alla conclusione che la a) è corretta mentre la b) non lo è. anzi, parto proprio dall'assunzione che a) sia vera per ricavare la forma corretta per la b).

questo è il procedimento:

$A\subset B$
$A\subseteq B\wedge A\ne B$
$\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\not\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$
$\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\exists x(\not(x\in A\leftrightarrow x\in B))$
$\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\exists x((x\notin A\wedge x\in B)\vee(x\in A\wedge x\notin B))$
$\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge(\exists x(x\notin A\wedge x\in B)\vee\exists x(x\in A\wedge x\notin B))$.

quest'ultima è la forma corretta per b), notevolmente più complessa di quanto avessi scritto all'inizio.

che ne pensi?

[adaBTTLS]

$\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge(\exists x(x\notin A\wedge x\in B)\vee\exists x(x\in A\wedge x\notin B))$.

questa è la corretta traduzione delle due parti, considerate "scollegate" l'una dall'altra (mi riferisco come al solito all'inclusione impropria e alla disuguaglianza), però se osservi con attenzione l'ultimo passaggio, ti accorgi di come puoi passare all'affermazione b): la seconda parentesi tonda, quella "nuova", complicata, ha il "vel", il che significa che almeno una delle due componenti deve essere vera, non necessariamente entrambe, però, nel caso che sia vera la prima parte ($\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$), essendo le due affermazioni principali legate da "et", e quindi dovendo essere verificate entrambe, la seconda di quelle nuove alternative ($\exists x(x\in A\wedge x\notin B)$)non può essere vera perché contrasta con la principale ($\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$); pertanto deve valere l'altra ($\exists x(x\notin A\wedge x\in B)$)

spero sia chiaro. ciao.

[qxtr01]

forse ci sono...

1) $A\subseteq B\wedge A\ne B$ (*)
2) $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\not\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$
3) $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\exists x[\not(x\in A\leftrightarrow x\in B)]$
4) $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\exists x[(x\notin A\wedge x\in B)\vee(x\in A\wedge x\notin B)]$
5) $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge[\exists x(x\notin A\wedge x\in B)\vee\exists x(x\in A\wedge x\notin B)]$
6) $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge[\exists x(x\notin A\wedge x\in B)\vee\not\forall x(x\notin A\vee x\in B)]$
7) $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge[\exists x(x\notin A\wedge x\in B)\vee\not\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)]$
8) $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge\exists x(x\notin A\wedge x\in B)$
9) $A\subseteq B\wedge\exists x(x\notin A\wedge x\in B)$ (*)

forse si poteva fare con meno passaggi, ma già è tanto che ci sia riuscito .

[adaBTTLS]

se così ti convince di più, OK. ma è solo a) implica b)? devi fare anche b) implica a)? o il viceversa l'avevi già fatto? o è banale?

[qxtr01]

tutti i punti dall'1) al 9) sono collegati tramite $\iff$, quindi direi che è fatta .

[adaBTTLS]

anche da 8) a 7) non ti crea problemi?
bada che io non dico che non va bene, ma visto che hai dovuto creare tutte queste "sovrastrutture" per passare da 3) a 7), non mi sembra banale il percorso inverso.