Algebre e anelli UFD

[bezout]

ciao a tutti non riesco a risolvere questi due esercizi
1)Mostrare che in un anello UFD gli ideali primi di altezza 1 sono principali
2)Sia B una A-algebra.Mostrare che se B è un A-modulo finitamente generato allora dim(A)=dim(B)

Per il secondo avevo pensato: sia f:A-->B il morfismo di struttura allora siccome B è un A-modulo finitamente generato e f(A)[b] è contenuto in B per ogni b in B si ha che f(A) dentro B è un estensione intera.Domanda posso dire che dim(f(A))=dim(B) oppure deve essere necessariamente A un dominio integro? se va bene poi come faccio a dire che dim(f(A))=dim(A)?
grazie a tutti in anticipo

[Tipper]

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