Campo.

[turtle87]

Alcune domande da porre sul concetto di campo, sulla sua definizione e su alcune delle sue applicazioni ai casi specifici.

Dunque, il campo è una terna $(K, +, dot )$, con $K$ che deve avere almeno due elementi, ed essere munito di due operazioni interne $+$ e $*$.

Domanda 1: Leggo testualmente: "Supporremo che le operazioni abbiano come elementi neutri rispettivamente $0$ e $1$".
Le operazioni sono identificate proprio dai due elementi neutri, nel senso che in ogni caso i campi hanno sempre tali due elementi che fanno da elementi neutri per le specifiche due operazioni, e da "segnali discriminanti" per esse?
Se infatti per ogni presunto campo, per ogni insieme di cui si vuole dimostrare l'essere campo insieme a due operazioni, queste due operazioni vengono definite tenendo conto solo dei due numeri $0$ e $1$ e del loro essere elementi neutri rispetto a questa operazione?

Ogni campo ha tre proprietà direttamente ricavate dalla definizione. Inoltre, il campo è l'ambiente in cui si svolgono le equazioni algebriche. Le proprietà summenzionate sono:

-$AA a in K, a*0 = 0$;
-La legge di annullamento del prodotto;
- Un' equazione $ax + b = 0$ ha una sola soluzione, se $a!=0$.
A tale proprietà si ispira l'algoritmo di Gauss-Jordan. In che senso? Qualche idea ce l'ho, ma manca di rigore. Chi mi aiuta?

[Martino]

Ciao!

Domanda 1: Leggo testualmente: "Supporremo che le operazioni abbiano come elementi neutri rispettivamente $0$ e $1$".
Le operazioni sono identificate proprio dai due elementi neutri, nel senso che in ogni caso i campi hanno sempre tali due elementi che fanno da elementi neutri per le specifiche due operazioni, e da "segnali discriminanti" per esse?
Se infatti per ogni presunto campo, per ogni insieme di cui si vuole dimostrare l'essere campo insieme a due operazioni, queste due operazioni vengono definite tenendo conto solo dei due numeri $0$ e $1$ e del loro essere elementi neutri rispetto a questa operazione?

Scusa purtroppo non capisco la tua domanda. Quando dicono che suppongono a priori che $0$ e $1$ siano gli elementi neutri vogliono solo assumere la convenzione secondo cui $0$ indica l'elemento neutro per la somma, $1$ indica l'elemento neutro per il prodotto. Somma e prodotto sono definite per tutti gli elementi, non solo per gli elementi neutri.

[rook]

Le due operazioni in un campo si distinguono perchè il prodotto si distribuisce rispetto alla somma e non viceversa.
Perche si può dimostrare che se la somma fosse distributiva anche in senso inverso [ ovvero : a + (b*c) = (a+b)*(a+c) ] K sarebbe uguale all'insieme { 0,1} e i due elementi si potrebbero scambiare tranquillamente, ovvero la terna (K,+,*) e la terna (K,*,+) sarebbero campi e dunque a quel punto somma e prodotto sarebbero pura convenzione.
Ma in generale tu chiami uno l'elemento neutro dell'operazione che si "distribuisce" e zero l'elemento neutro dell'altra. Poi alla fine i nomi sono pura convenzione dunque, a patto di specificarlo prima , puoi chiamare uno e zero quello che vuoi

[Martino]

in generale tu chiami uno l'elemento neutro dell'operazione che si "distribuisce" e zero l'elemento neutro dell'altra.

Aggiungerei che comunuqe tra $+$ e $*$ c'e' una differenza strutturale importante: se $(K,+,*)$ e' un campo allora $(K,+)$ e' un gruppo (commutativo), mentre $(K,*)$ e' solo un monoide (commutativo). In altre parole ogni elemento ha inverso additivo, ma non ogni elemento ha inverso moltiplicativo.