Dimostrazione Anello commutativo

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Ciao a tutti!! Ho qualche difficoltà nella dimostrazione della proprietà dell'associatività della somma in un esercizio. Vi illustro il problema:

Sia $A$ un insieme. Indichiamo con $P(A)$ la famiglia di tutti i sottinsiemi di $A$
Se $A_1,A_2 in A$ poniamo $A_1 + A_2 = (A_1text{\}A_2)uu(A_2text{\}A_1)$ e $A_1 xx A_2 = A_1 nn A_2$
Dimostrare che $P(A)$ è un anello commutativo

Ho iniziato con la proprietà dell'associatività della somma, ma giam i esce un risultato sbagliato vi faccio vedere i miei passaggi
La proprietà è: $AA A_1,A_2,A_3 -> (A_1+A_2)+A_3 = A_1 + (A_2 + A_3)$ ovvero
$[(A_1text{\}A_2)uu(A_2text{\}A_1)]text{\}A_3 uu A_3text{\}[(A_1text{\}A_2)uu(A_2text{\}A_1)] = A_1text{\}[(A_2text{\}A_3)uu(A_3text{\}A_2)] uu [(A_2text{\}A_3)uu(A_3text{\}A_2)]text{\}A_1$ (e mi rendo conto che è bruttissima da leggere!!)
Continuando sul primo membro lo trasformo in
$(A_1text{\}A_2text{\}A_3)uu(A_2text{\}A_1text{\}A_3)uu(A_3text{\}A_1text{\}A_2)uu(A_3text{\}A_2text{\}A_1)$
$A_1text{\}(A_2text{\}A_3)uu(A_2text{\}A_3)text{\}A_1)uu(A_3text{\}A_2)text{\}A_1uu(A_3text{\}A_2)text{\}A_1$
$A_1text{\}(A_2text{\}A_3)uu[(A_2text{\}A_3)uu(A_3text{\}A_2)]text{\}A_1$
Che è DIVERSO da $A_1text{\}[(A_2text{\}A_3)uu(A_3text{\}A_2)] uu [(A_2text{\}A_3)uu(A_3text{\}A_2)]text{\}A_1$
quindi... dove sbaglio?

[Martino]

Se il risultato non torna hai sbagliato qualche conto, probabilmente basta ricontrollare i passaggi per trovare l'errore.

Ma non volevo dire solo questo

Ti propongo un modo intelligente di vedere la cosa: identifica un sottoinsieme di $T$ di $A$ con la funzione $f:A to {0,1}$ che vale $1$ sugli elementi di $T$ e $0$ sugli elementi fuori da $T$ (cioe' la funzione caratteristica di $T$). In questo modo un sottoinsieme di $A$ non e' altro che una funzione $A to {0,1}$.

Ora definisci somma e prodotto tra funzioni nel modo usuale, $(fg)(x) = f(x)g(x)$ e $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, dove ${0,1}$ e' pensato come $ZZ//2ZZ$ (il campo con due elementi).

Ora se prendi due sottoinsiemi $f$ e $g$ (identificati con le loro funzioni caratteristiche) il loro prodotto $fg$ e' esattamente la loro intersezione (perche' $f(x)g(x)=1$ se e solo se $f(x)=1$ e $g(x)=1$) e la loro somma $f+g$ e' esattamente $(f-g) uu (g-f)$ (infatti $f(x)+g(x)=1$ se e solo se $f(x) ne g(x)$, ovvero $x$ sta in uno solo tra $f$ e $g$).

In questo modo vedi che $P(A)$ con le operazioni che hai detto non e' altro che $(ZZ//2ZZ)^A$ con le operazioni per componenti. E questo e' chiaramente un anello

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Innansitutto chiedo scusa per aver sbagliato sezione Tornando al post:
Fantastico! questo metodo mi piace troppo! (anche se non ci sarei mai arrivato). Cmq ho capito tutto ma ho un problema (che forse è quello che mi blocca dal capire l'ultima riga)
$ZZtext{/}2ZZ$ vuol dire $ZZ/(2ZZ)$ o $ZZtext{\}2ZZ$?
Perchè nel primo caso non ho la più pallida idea di come si faccia la divisione fra insiemi nel secondo caso l'insieme dovrebbe essere quello dei numeri dispari (positivi e negativi), giusto? quindi suppongo di non aver proprio capito il significato di $ZZtext{/}2ZZ$

[Martino]

$ZZ//2ZZ$ e' l'anello quoziente dell'anello $ZZ$ con l'ideale $2ZZ$. Se non hai ancora visto queste cose puoi vederla cosi': se doti l'insieme ${0,1}$ delle seguenti operazioni:

$+$:
$0+0=0$
$0+1=1+0=1$
$1+1=0$

$*$:
$0*0=0*1=1*0=0$
$1*1=1$

allora ${0,1}$ diventa un anello, e anzi un campo. Di solito questo anello viene denotato con $ZZ//2ZZ$ ("zeta modulo due zeta") o con $F_2$ o a volte con $ZZ_2$ (ma io personalmente non uso quest'ultima notazione, perche' riservata agli interi $2$-adici).

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Perfetto!!! Adesso ci sono! spiegazione chiarissima grazie!