Dimostrazione divisibilità elementi di terne pitagoriche

[Injo]

Devo dimostrare che una delle tre componenti di una terna pitagorica primitiva $(x,y,z)$ è sempre divisibile per 5. Io so che ho terne pitagoriche primitive quando (escludendo la terna nulla, le terne con elementi negativi e le terne con elementi nulli):

$x=2ab$, $y=a^2-b^2$, $z=a^2+b^2$ con $a,b$ coprimi e con parità diversa.

Ora devo dimostrare che in ogni terna prima un elemento è divisibile per 3, uno per 4 ed uno per 5 (eventualmente lo stesso). Ho risolto la questione per 3 e 4 ma mi sono bloccato nel dimostrare la divisibilità per 5. O meglio:

Se $a$ e $b$ sono multipli di 5, allora si ha che 5 divide $x$.
Se $a$ e $b$ non sono multipli di 5, allora $x$ non è multiplo di 5. In questo caso vuol dire che o $y$ o $z$ sono divisibili per 5. Ne sono andato a controllare la possibilità:
. $5k=y=a^2-b^2$ : ho considerato $a^2-b^2=(a+b)(a-b)=h(2b+h)=5k$ ovvero devo trovare una coppia di divisori complementari di $5k$. Fisso ad esempio $h=5 \to 2b-5=k \to b=(k+5)/2 \to a=h+b=5+(k+5)/2 \to (5+(k+5)/2)^2-((k+5)/2)^2=5k$. Se $k$ è dispari non posso escludere che $5k$ sia differenza di quadrati e di conseguenza non posso escludere che 5 divide $y$.
. $5k=z=a^2+b^2$ : so che un numero è somma di quadrati se e solo se è della forma $M^2h$ oppure $2M^2h$ con $M >= 1$, $k$ libero da quadrati e prodotto di primi della forma $4i+1$. Anche in questo caso, a priori, non posso escludere che 5 divide $z$.

Ho quindi fatto la seguente considerazione: 5 non divide $a$ e $b$ e per l'ipotesi di diversa parità tra $a$ e $b$ ho che 2 divide $a$ ma non divide $b$ (ho supposto $a$ pari, sarebbe uguale supporre $b$ pari). Quindi questi possono essere delle forme:

$a=10k+2$ oppure $a=10k+4$ oppure $a=10k+6$ oppure $a=10k+8$
$b=10k+1$ oppure $b=10k+3$ oppure $b=10k+7$ oppure $b=10k+9$

Ho notato che sviluppando la somma o la differenza di quadrati tra coppie di queste forme, la divisibilità del risultato per 5 era influenzato dal termine non moltiplicato per $k$ (in quanto tutti gli altri termini sono moltiplicati per 10 e quindi divisibili per 5). Seguendo questo ragionamento ho trovato quindi che considerando una forma di $a$ ed una forma di $b$ allora uno tra $z=a^2+b^2$ e $y=a^2-b^2$ è sempre divisibile per 5. Questo però mi implica di svolgere 16 somme di quadrati e 16 differenze di quadrati che, pur confermando e raggiungendo il risultato, non mi sembrano una strada facilmente praticabile.

C'è una via più elegante per raggiungere questo risultato?

[Jack233]

Una via più rapida è questa:

se un numero non è divisibile per 5 allora il suo quadrato è della forma $5k+1$ o $5k-1$.
Poniamo che i due cateti non siano divisibili per 5.
Allora vi sono 3 casi:
1)$a^2+b^2=5k+1+5h+1=5(k+h)+2$ assurdo perchè non ci sono quadrati di quella forma.
2)$a^2+b^2=5k-1+5h-1=5(k+h)-2$ assurdo come la 1°
3)$a^2+b^2=5k+1+5h-1=5(k+h)$ e quindi l'ipotenusa è divisibile per 5

[Gatto89]

Una via più rapida è questa:

se un numero non è divisibile per 5 allora il suo quadrato è della forma $5k+1$ o $5k-1$.
Poniamo che i due cateti non siano divisibili per 5.
Allora vi sono 3 casi:
1)$a^2+b^2=5k+1+5h+1=5(k+h)+2$ assurdo perchè non ci sono quadrati di quella forma.
2)$a^2+b^2=5k-1+5h-1=5(k+h)-2$ assurdo come la 1°
3)$a^2+b^2=5k+1+5h-1=5(k+h)$ e quindi l'ipotenusa è divisibile per 5

Bella risoluzione.