Successione ricorsiva

[geppo71]

Ciao a tutti,

ho la seguente successione ricorsiva:

$y_n = \frac {y_{n-1}}{1 \pm K * y_{n-1} ^ 2}$

sapendo che

$y_0 = 1000$

come posso calcolare un elemento arbitrario della successione (ad esempio il 257°) in modo non ricorsivo?

Grazie e a presto.

[ficus2002]

Cominciamo dal caso
$y_{n+1}=f(y_n)$ dove $f(x):=\frac{x}{1-a^2x^2}$
con $a$ numero reale positivo.
Osserviamo che l'intervallo $E:=(1/a,\infty)$ è invariante per $f$ ossia si ha $f(E)\subseteq E$.
Comunque scelto $y_0\in E$, sia $\theta\in (\frac {\pi}4,\frac{\pi}2)$ tale che $\tan\theta=ay_0$; per le formule di duplicazione della tangente, si dimostra, per induzione su $n$, che
$y_n=1/a\tan(2^n \theta)$ per ogni $n\in NN$.

Consideriamo ora il caso
$y_{n+1}=f(y_n)$ dove $f(x):=\frac{x}{1+a^2x^2}$
con $a$ numero reale positivo.
In tal caso, comunque scelto $y_0\in RR$, esiste $\theta\in RR$ tale che $\tanh\theta=ay_0$ e si ha
$y_n=1/a \tanh(2^n\theta)$ per ogni $n\in NN$.

[geppo71]

Grazie mille!