Teoria assiomatica degli insiemi

[qxtr01]

Sto cercando di studiare gli aspetti basilari della teoria assiomatica degli insiemi, nello specifico gli assiomi di ZF, ma ho diverse difficoltà in proposito.

1) L'assioma di estensionalità dice che $\forall x\forall y[x=y\leftrightarrow\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)]$; l'assioma dell'esistenza dell'insieme vuoto afferma invece che $\exists x\forall y(y\notin x)$; a partire da questi soli due assiomi come si fa a dimostrare che l'insieme vuoto è unico?

2) E' possibile riscrivere l'assioma di estensionalità evitando di utilizzare il predicato di uguaglianza? Qui (http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2 ... The_axioms) c'è scritto che l'espressione $x=y$ può essere considerata come un'abbreviazione della formula $\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\wedge\forall z(x\in z\leftrightarrow y\in z)$, che sostanzialmente dice che $x=y$ se e soltanto se $x$ e $y$ contengono gli stessi elementi e fanno parte dei medesimi insiemi. Mi chiedo: è proprio necessaria la seconda parte (e cioè che $\forall z(x\in z\leftrightarrow y\in z)$)? Non basta scrivere che $\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)$?

3) Cosa si intende esattamente con $\bigcup x$? ad esempio cosa si intende per $\bigcup {a,b}$?

Grazie.

[G.D.]

Siano $A,B$ due insiemi vuoti: allora $A=B$.
Avviene quanto sopra sse $\forall z, z \in A <=> z \in B$, ma $A$ e $B$ sono vuoti, sicché $z \in A$ è falso così come $z \in B$, quindi, per qualunque scelta di $z$, $z \in A <=> z \in B$ è vero. #

[qxtr01]

dunque sono riuscito a mettere giù la seguente dimostrazione:

IPOTESI
Siano $A$ e $B$ due insiemi vuoti. Questo equivale a dire che $\forall x(x\notin A)\wedge\forall x(x\notin B)$

TESI
$A=B$, cioè $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$

DIMOSTRAZIONE
$\forall x(x\notin A)\wedge\forall x(x\notin B)\iff$ (per le proprietà di $\forall$)
$\iff\forall x(x\notin A\wedge x\notin B)\Rightarrow$ (per le proprietà dei connettivi logici)
$\Rightarrow\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$

mi pare giusta, però non mi sembra abbastanza rigorosa, cioè non si riconduce mai esattamente all'enunciato di alcuno dei due assiomi introdotti finora... credo proprio che debba lavorarci ancora sopra...

[qxtr01]

per quanto riguarda l'unione, credo di aver capito che cosa si intenda. ad esempio se $A={{1,2},{2,3,4}}$ allora $\bigcup A={1,2,3,4}$, cioè data una collezione $A$ di insiemi, per $\bigcup A$ si intende l'insieme di tutti quegli elementi che fanno parte di almeno uno degli insiemi di cui è costituito $A$.

[qxtr01]

altra domanda... è corretto utilizzare la notazione $A={x:P(x)}$ o bisogna sempre scrivere qualcosa del tipo $A={x\in B:P(x)}$?

[rook]

La dimostrazione è corretta.
Per quanto riguarda le notazioni, esse sono equivalenti, anche se la seconda notazione è più precisa;
la prima la puoi usare se B è chiaro dal contesto.

[qxtr01]

IPOTESI
Siano $A$ e $B$ due insiemi vuoti. Questo equivale a dire che $\forall x(x\notin A)\wedge\forall x(x\notin B)$

TESI
$A=B$, cioè $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$

quello che non mi piace di questa impostazione sono le ipotesi. sarebbe preferibile scrivere direttamente qualcosa come $\exists A\forall x(x\notin A)\wedge\exists B\forall x(x\notin B)$ (in questo modo utilizzo integralmente l'enunciato dell'assioma di esistenza dell'insieme vuoto, due volte).

a questo punto però il mio problema è scrivere la tesi... $A=B$? non credo, perchè le ipotesi sono due proposizioni del tipo $P\wedge Q$ mentre la tesi è una predicato del tipo $R(A,B)$ (e quindi non riuscirò mai ad arrivarci tramite passaggi logici). $\forall A\forall B(A=B)$? sarebbe come dimostrare che dati due insiemi qualunque questi sono uguali... (il che è ovviamente falso). come posso fare allora?

[G.D.]

Credo che ti stia concentrando troppo sui quantificatori. Per utilizzarli in modo così formale e rigoroso credo ti occorra un corso di logica full immersion.

[qxtr01]

dunque secondo wikipedia l'assioma di estensionalità può essere riformulato evitando l'uso del predicato di uguaglianza nel seguente modo: $\forall a\forall b[\forall c(c\in a\leftrightarrow c\in b)\rightarrow\forall c(a\in c\leftrightarrow b\in c)]$. in prosa questo vuol dire che dati due insiemi $a$ e $b$ se questi contengono gli stessi elementi allora essi appartengono ai medesimi insiemi. se per convenzione scrivo $a=b$ al posto di $\forall c(c\in a\leftrightarrow c\in b)$ l'assioma di estensionalità può essere riscritto in modo più conciso come: $\forall a\forall b[a=b\rightarrow\forall c(a\in c\leftrightarrow b\in c)]$.

ora mi chiedo: vale anche il contrario? vale cioè che se due insiemi $a$ e $b$ appartengono ai medesimi insiemi allora $a=b$? in simboli, vale che $\forall a\forall b[\forall c(a\in c\leftrightarrow b\in c)\rightarrow a=b]$? intuitivamente direi di si, ma non riesco in alcun modo a dimostrarlo. sarebbe come dire che da $\forall a\forall b(P(x,y)\rightarrow Q(x,y))$ implica che $\forall a\forall b(Q(x,y)\rightarrow P(x,y))$.

secondo me anche questo fatto dovrebbe essere incluso nell'assioma di estensionalità, che diverrebbe pertanto $\forall a\forall b[a=b\leftrightarrow\forall c(a\in c\leftrightarrow b\in c)]$.

cosa ne pensate?

[Lord K]

Hai pienamente ragione, infatti nel caso di Wikipedia in italiano (http://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_di ... alit%C3%A0) la definizione è proprio quella che hai dato tu!