qxtr01 ha scritto:ora mi chiedo: vale anche il contrario? vale cioè che se due insiemi $a$ e $b$ appartengono ai medesimi insiemi allora $a=b$?
Tralasciando le questioni formali, direi di no.
Mi basta prendere un insieme $A$, la sua potenza $wp(A)$ e avere che, se $|A|>1$, posso trovare $X_1, X_2 in wp(A)$ con $X_1 != X_2$.
Almeno se questo è quello che intendi.
Mi posteresti il link ad irc cui fai riferimento nel tuo terzultimo post?
Per quanto riguarda il concetto di n-upla, puoi procedere in due modi equivalenti: tieni presente che quello che ti dico ha come background il fatto che la n-upla è più propriamente un oggetto ordinato.
Il primo consiste in una definizione ricorsiva, i.e. $(a,b):={{a},{a,b}}$ per $n=2$ ( e se proprio vuoi definire la n-upla anche per $0$ e $1$, allora poni come hai fatto tu $()={}$ e $(a_1)={a_1}$), quindi $(a_1, a_2, ldots, a_n), a_(n+1))=:(a_1, a_2, a_3, ldots, a_n)$.
Altrimenti poni per $n=2$ quanto già detto, i.e. $(a,b):={{a},{a,b}}$, quindi definisci cos'è una applicazione (parte del prodotto cartesiano et cetera et cetera... questo è il motivo per cui devi definire prima la coppia), quindi poni $(a_1, a_2, a_3, ldots, a_n):= f: ccI_n ( :={1,2,3,ldots,n}) to A$ ove $A:={a_1, a_2, a_3, ldots, a_n}$.
A questo punto è facile convincersi che le definizioni sono equivalenti: data la n-upla definita come applicazione, basta prendere la restrizione $f_{ccI_(n-1)}$ per avere la n-1-upla, quindi prendere la coppia $((f_{ccI_{n-1}}),a_n)$ per avere la n-upla induttiva.
Viceversa, data la n-upla induttiva, basta creare l'applicazione che manda $1$ in $a_1$, $2$ in $a_2$ e $i$ in $a_i$.
A tal proposito, ne discutemmo a suo tempo,
qui.