Prodotto cartesiano associativo per identificazione canonica

[G.D.]

Il prodotto cartesiano non è associativo. Difatti $A times (B times C) != (A times B) times C$, dacché gli elementi di $A times (B times C)$ sono le coppie $(a,(b,c))$ e le coppie di $(A times B) times C$ sono $((a',b'),c')$.
Si possono però identificare canonicamente i due prodotti, si può cioè tirare fuori una applicazione biettiva $f : A times (B times C) to (A times B) times C$.
Io ho pensato a questa:
$f((a,(b,c)))=((a',b'),c') <=> a=a', b=b', c=c'$.

Quello che ho fatto però non mi convince, perché se passo ad un caso generale con $n$ insiemi $A_1, A_2, ldots, A_n$ non necessariamente tutti uguali, allora l'applicazione diventa $f((x_1,(x_2,ldots,x_n)))=((x'_1,ldots,x'_{n-1}),x_n) <=> x_i=x'_i$.
E la cosa non mi convince perché utilizzo le coordinate delle n-1-uple delle coppie per l'assegnazione.

Sono io che ormai comincio a dare i numeri oppure effettivamente sto sbagliando?
Cioè hanno senso quelle applicazioni o sono rindondanti?

[Martino]

Hanno senso, anche se non capisco perche' usi variabili diverse all'arrivo per poi dire che sono uguali a quelle in partenza.

In realta' non ho nemmeno capito cosa non ti convince

[adaBTTLS]

$AtimesBtimesC={(a,b,c)|a in A, b in B, c in C}$ è un insieme di terne ordinate.
il concetto di prodotto cartesiano si può estendere a più di due insiemi, anche se non può essere definito come prodotto cartesiano tra insiemi e prodotti cartesiani in maniera arbitraria. per scrupolo, però, ho controllato sulle mie vecchie dispense di Algebra ed ho trovato una identificazione tra ((a,b),c) e (a,b,c), cosa su cui anch'io nutro seri dubbi.
confronta anche quanto scritto su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_cartesiano
anche nella versione in Inglese: http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product
ed una versione per Analisi: http://users.uniud.it/cabib/dispense/A1-lezione2.pdf
spero che ti aiuti a chiarire i dubbi. ciao.

[G.D.]

trovato una identificazione tra ((a,b),c) e (a,b,c)

Posso chiederti qual è l'applicazione usata nei tuoi appunti per produrre l'identificazione?

[G.D.]

Cerco di speigare bene la situazione.
Che il prodotto cartesiano non fosse associativo solo sapevo già, inoltre credo non sia nemmeno propriamente corretto parlare di proprietà e di operazioni tra insiemi, sarebbe più corretto parlare di regole di formazione per gli insiemi.
Sull'Hernstein leggo ieri però che è possibile identificare i prodotti $S times T times V$, $(S times T) times V$, $S times (T times V)$ l'uno nell'altro per mezzo di applicazioni biettive. Il buon Herni però lascia come esercizio il determinare queste applicazioni e definisce coppie e terne alla buona, i.e. la coppia ordinata è un oggetto matematico della forma $(x,y)$ con la proprietà che $(x,y)=(x',y') <=> x=x' \ \ et \ \ y=y'$.
A che la domanda che sorge spontanea è: come trovo questa applicazione?
Da questa domanda, unita a tutta una serie di dubbi, ne nascono molte altre.

Procedo dunque con ordine.

Inizio con un caso pratico: $A={1,2}$, $B={1,2,3}$ e $C={1,2,4}$. Sia ha $A times B times C = {(1,1,1), (1,1,2), (1,1,4), (1,2,1), (1,2,2), (1,2,4), (1,3,1), (1,3,2), (1,3,4), (2,1,1), (2,1,2), (2,1,4), (2,2,1), (2,2,2), (2,2,4), (2,3,1), (2,3,2), (2,3,4)}$, $(A times B) times C = {((1,1),1), ((1,1),2), ((1,1),4), ((1,2),1), ((1,2),2), ((1,2),4), ((1,3),1), ((1,3),2), ((1,3),4), ((2,1),1), ((2,1),2), ((2,1),4), ((2,2),1), ((2,2),2), ((2,2),4), ((2,3),1), ((2,3),2), ((2,3),4)}$ e $A times (B times C)={(1,(1,1)), (1,(1,2)), (1,(1,4)), (1,(2,1)), (1,(2,2)), (1,(2,4)), (1,(3,1)), (1,(3,2)), (1,(3,4)), (2,(1,1)), (2,(1,2)), (2,(1,4)), (2,(2,1)), (2,(2,2)), (2,(2,4)), (2,(3,1)), (2,(3,2)), (2,(3,4))}$.
Da questo esmpio pratico è facile tirare fuori le applicazioni: mando ogni terna del primo prodotto in una coppia del secondo prodotto usando come criterio di assegnazione la coincidenza della prima coordinata della terna con la prima coordinata della coppia interna, la coincidenza della seconda coordinata della terna con la seconda coordinata della coppia interna e la coincidenza della ternza coordinata con la seconda coordinata della coppia dell'insieme prodotto.
Procedo in modo analogo per mappare il secondo prodotto nel terzo: mando una coppia in quella che ha come prima coordinata la prima coordinata della coppia interna, come prima coordinata della coppia interna la seconda coordinata della coppia interna e come seconda coordinata della copppia interna la seconda coordinata della coppia dell'insieme prodotto.

E fin qui tutto OK. I miei problemi nascono quando passo alla formalizzazione del precedente esempio.
Prendo tre insiemi $S,T,V$ e faccio quello che ho scritto nel primo post. La stranezza dell'azione mi viene insinuata dal fatto che uso gli indici di posizioni degli elementi delle n-uple: in sostanza mi pare di sfruttare il risultato nella costruzione dello stesso. Penso cioè che usando gli indici di posizione io sto implicitamente già usando il fatto che quelle due coppiesono identificabili una nell'altra e ciascuna di esse nella terna.

Un altro problema sorge se penso alla definizione di n-upla. Se definisco una n-upla (con $n>2$) come una coppia con prima coordinata la n-1-upla e seconda coordinata l'n-esimo termine della n-upla, i.e. $(x_1, x_2, ldots, x_n):=((x_1,x_2,ldots,x_{n-1}),x_n)$, il problema di sopra si semplifica perché il primo prodotto dell'esempio prima riporatato è uguale al secondo per definizione, quindi rimane l'identificazione per biezione del primo o del secondo prodotto nel terzo e rimane per questa identificazione il dubbio prima esposto.

Se, invece, definisco una n-upla (con $n>2$) come una applicazione $f:I_n( :={1,2,ldots,n}) to bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \ \ t.c. \ \ f(i)=a in A_{i}, forall i$, il problema mi si complica.
Difatti, per $A times B times C$ ho come elementi delle applicazioni come quella descritta al rigo precedente, mentre per $(A times B) times C$ ho come elementi delle applicazioni che mappano $I_{2}={1,2}$ in un insieme che ha come elementi oltre alle applicazioni, con la proprietà dell'applicazione $f$ del rigo precedente, che mappano l'insieme degli indici di $A$ e $B$, i.e. un altro ${1,2}$, nell'insieme $A cup B$, anche gli elementi di $C$: in questo caso non riesco a ben vedere quale biezioni identifichi i due prodotti e come detta biezioni si comporti nelle sue assegnazioni.

[adaBTTLS]

mi pare di aver capito che le mie dispense facciano riferimento a quanto affermato sull'Hernstein, mentre non mi pare si possa usare l'interpretazione che a tuo dire complica il problema (cioè attraverso l'unione di più insiemi).
l'impostazione sarebbe questa:
uso delle parentesi tonde per distinguere un insieme di due elementi (${a,b}={b,a}$) da una coppia ordinata ($(a,b)$).
definizione di uguaglianza fra coppie ordinate.

definito il concetto di coppia ordinata, nulla impedisce di definire le terne ordinate e le quaterne ordinate. Se a, b, c sono tre oggetti, la terna ordinata (a,b,c) si può definire ponendo (a,b,c)=((a,b),c). Risulta allora che (a,b,c)=(a',b',c') se e solo se a=a', b=b', c=c'.
.................
dati tre insiemi A,B,C, il prodotto cartesiano AxBxC si definisce ponendo AxBxC=(AxB)xC, di modo che risulta $AtimesBtimesC={(a,b,c)|a in A, b in B, c in C}$.
chiaramente questa costruzione si può generalizzare al caso di quattro o più insiemi.

la mia impressione è che quello che anche a me dà fastidio, cioè la definizione del prodotto cartesiano tra due insiemi come insieme di "coppie" ordinate, che continuano ad essere coppie di "singoli elementi e coppie" quando si estende alle "terne", in realtà vada interpretata in marniera più "naturale" come insieme i cui elementi sono insiemi formati da due elementi in cui distinguiamo qual è il primo e quale il secondo. in questo senso le parentesi tonde non vanno interpretate come un qualcoosa che raccoglie una struttura di per sé già ben definita, ma servono solo per dire che tra gli elementi all'interno è importante l'ordine. in tale ottica non è una forzatura dire ((a,b),c)=(a,(b,c))=(a,b,c).

spero di aver risposto alla domanda. sono comunque interessata a sentire anche altri pareri. ciao.

[G.D.]

L'Hernstein segue questo procedimento: definisce una n-upla come un oggetto matematico della forma $(a_1, a_2, ldots, a_n)$ tale che l'uguaglianza con un altra n-upla si ha sse sono rispettivamente uguali i termini di egual posizione. In tal guisa $A times B times C$ diviene un insieme di terne e $(A times B) times C$ diviene un insieme di coppie con prima coordinata una coppia, di modo che, formalmente, i prodotti sono diversi, donde l'identificazione canonica per biezione. Quindi la tua impostazione.
A me non da fastidio questa o quella impostazione, l'impostazione per me non è un problema se formalmente riesco a collegarle.