Allora
Un campo $F_P$ è un campo in cui posto un numero $r$ tale che $0<=r<p$, allora qualsiasi numero della forma $kp+r$ equivale ad $r$, ciò ci dimostra che la caratteristica di $F_p$ è proprio p: infatti, essendo per definizione la caratteristica char = $\text{min}{n | 1_1 + 1_2 + ... + 1_n = 0}$ allora supponiamo che sommando s volte 1 si arrivi a 0, vuol dire che $0 + ks = 0$, ma siccome per definizione di $F_p$ si ha che $0 = 0 + kp$ allora ho che $kp = ks$ e quindi $p = s$
Per dimostrare che $F_p$ è un campo si devono verificare le varie proprietà dei campi, quindi:
l'associativa, commutativa e distributiva sono banali.
A partire dalla dimostrazione dell'esistenza dello 0 comincio ad avere i miei dubbi. lo 0 (elemento neutro per la somma) è un qualsiasi numero x tale che $AA t in F_p, x + t = t$ quindi per definizione di $F_p$ ho che $x = kp$ quindi ho più di uno 0... possibile?? idem per l'elemento neutro del prodotto
L'opposto lo calcolo facendo $m + m' = 0 \hArr m + m' = p \hArr m' =p-m$
per l'inverso ho buone difficoltà!
ho che $m * m' = 1$, quindi $km + sm' = 1$ ma adesso sinceramente non so come andare avanti...
Qualcuno può levarmi questi dubbi?? o possibilmente consigliarmi qualche buona risorsa per darmi un infarinatura di aritmetica modulo p?? (anche se ancora non comprendo il suo utilizzo in geometria)
Grazie mille in anticipo
