[Il mio manuale (forse per me è una fortuna) non riporta il concetto di ordinale per la verità, suppongo sia troppo intensivo dal punto di vista teorico.]
Mi sono procurato, in ultima analisi, tre cose fondamentali:
1)
Let $J$ be a well-ordered set. A subset $J_0$ of $J$ is said to be inductive if for every $alpha\inJ$:
($S_alpha\subeJ_0$)$=>$($alpha\inJ_0$)
[dove $S_alpha$ è l'insieme dei predecessori di $alpha$, $alpha$ escluso].
Theorem (the principle of transfinite induction).
If $J$ is a well-ordered set and $J_0$ is an inductive subset of $J$ then $J_0=J$.
2)
Theorem (General principle of recursive definition).
Let $J$ be a well-ordered set; let $C$ be a set. Let $F$ be the set of all mappings $S_alpha\toC$, defined over a section of $J$. Given a function $rho:F\toC$, there exists a unique function $h:J\toC$ such that:
$h(alpha)=rho(h|_{S_alpha})$ for each $alpha\inJ$.
(questo per la verità non l'ho dimostrato a fondo, troppo palloso
, ma ne ho afferrato l'idea. Del resto è una perfetta analogia con le "vecchie" successioni ricorsive.)3) La costruzione di $S_Omega$.
Con questi strumenti mi dimostro senza difficoltà principio di Hausdorff e lemma di Zorn, quindi in un certo senso posso dire che la missione è compiuta (evviva!). Inoltre penso di non sbagliare se dico che questi teoremi (1 e 2) formalizzano il concetto di:
fields ha scritto:"costruzione in cui ogni passo crea qualcosa di nuovo sfruttando tutto il lavoro precedente, che puo' essere anche infinito"
Se e quando dovessi avere tempo, mi farebbe piacere se mi consigliassi un buon testo su cui approfondire queste questioni. Tieni conto che (come avrai capito) non ho mai seguito corsi di logica e fondamenti, purtroppo. Quindi parto, più o meno, da quello che trovi scritto in questo post.
