ideali di polinomi che si annullano su un insieme

[alberto86]

salve a tutti...ho il seguente esercizio: dato $Z\subset C^2$ con $Z=\{(m,n) m,n \in \mathbb{Z}\}$ descrivere $I(Z)$ cioè l'ideale dei polinomi in $C[x,y]$ che si annullano su $Z$...io penso che sia l'ideale $(0)$ perchè è(credo) l'unico polinomio che può ammettere tali zeri ma non riesco a darne una dimostrazione rigorosa (finora abbiamo fatto il teorema degli zeri di Hilbert e il Nullstellensatz)...grazie per l'aiuto

[fu^2]

mmm allora
$Z={(m,n)|m,n\inZZ}\subCC^2$. Avrai che $I(Z)={f(x,y)\inCC[x,y]|f(a)=0\AAa\in\Z}$ giusto? Quindi se non dico idiozie data l'ora hai che i polinomi che stanno in $I(Z)$ devono annullarsi per tutti gli elementi di $Z$. In particolare avrai che, se consideri $(m_0,n)\inZ,n\inZZ$ devi avere che $f(m_0,n)=0$ e questo, essendo $m_0$ fissato, è un polinomio in una variabile che ha un numero non finito di radici.

Ti convince?

[alberto86]

avevo pensato ad una cosa simile..però...se prendi per esempio $x-y$ questo ad $x$(o $y$) fissato ha una radice ma in realtà ne ammette infinite (la retta x=y)...

[fu^2]

nono le radici le devi valutare su una variabile, il più grande corollario del teorema fondamentale dell'algebra è fatto in una variabile.

Fissata una $x$ hai una sola radice come è giusto che sia se le fai "correre" tutte e due ottienei una retta. Non ci vedo contraddizioni... o mi perdo qualcosa?

prima non va bene perchè hai, per esempio, $f(0,n)=g(n)=0,AAn\inNN$. Con $g$ ho indicato il polinomio $f$ ristretto alla seconda variabile, fissata la prima.

[alberto86]

la contraddizione è che esistono polinomi il cui luogo degli zeri può avere infiniti punti e quindi il discorso sulle cardinalità non mi convince....secondo me la cosa che conta è che questi zeri non sono un insieme denso...in più variabili c'è un analogo del teorema fondamentale dell'algebra?a me non risulta

[fu^2]

no non c'è.

Ma il luogo degli zeri è una retta appunto. Se fissi una delle due variabili ottieni solo un punto. Se fissi un puntu e ottieni ancora un numero infinito di soluzioni hai una contraddizione. Infatti $p(x,y_0)=0$ ha al più n soluzioni, dove n è il grado del polinomio ristretto alla prima variabile. (Infatti con una variabile ottieni punti, con due variabili ottini curve essendo che la x gira in funzione dalla y se la x la fissi avrai un polinomio in una variabile e quinid con al più un numero finito di sluzioni, no?.)

Infatti $x-y_0=0$ ha una soluzione. Quindi per me il ragionamento non mi sembra tirato per i capelli.

[alberto86]

credo di essermi convinto che funzioni..grazie molte!!