Algebra [elemento algebrico]

[bezout]

Ciao a tutti non riesco a dimostare questa cosa:
Sia $U$ un indeterminata su $K$=campo.Mostare che $\alpha in K(U)$ è algebrico su $K \hArr \alpha in K$.
Questo lato è ovvio $(\lArr)$
$(\rArr)$. Per assurdo sia $\alpha=f(U)/g(U) in K(U) e \alpha notin K$ algebrico su $K$ allora $EE h(x) in K[x]$ di grado $n >=2$ tale che $h(f(U)/g(U)=0$ allora $(f(U)/g(U))^n+....+a_0=0$ ora moltiplico per $g(u)^n$ e trovo un equazione in un indeterminata che è uguale a 0 il che è assurdo.La mia domanda è:
1)se il procedimento è giusto
2)Chi mi assicura che esiste almeno un coefficente diverso da $0$ nell'equazione in una indeterminata che ho ottenuto moltiplicando per $g(u)^n$
Grazie a tutti in anticipo

[mod="Martino"]Ho specificato il titolo. Per favore in futuro metti titoli che specifichino meglio l'argomento. Grazie.[/mod]

[bezout]

Ciao a tutti non riesco a dimostare questa cosa:
Sia $U$ un indeterminata su $K$=campo.Mostare che $\alpha in K(U)$ è algebrico su $K \hArr \alpha in K$.
Questo lato è ovvio $(\lArr)$
$(\rArr)$. Per assurdo sia $\alpha=f(U)/g(U) in K(U)$ e $\alpha notin K$ algebrico su $K$ allora $EE h(x) in K[x]$ di grado $n >=2$ tale che $h(f(U)/g(U))=0$ allora $(f(U)/g(U))^n+a_(n-1)*(f(U)/g(U))^(n-1)+....+a_0=0$ ora moltiplico per $g(u)^n$ e trovo un equazione in un indeterminata che è uguale a $0$ il che è assurdo.La mia domanda è:
1)se il procedimento è giusto
2)Chi mi assicura che esiste almeno un coefficente diverso da $0$ nell'equazione in una indeterminata che ho ottenuto moltiplicando per $g(u)^n$
Grazie a tutti in anticipo

[vict85]

Probabilmente abbiamo problemi di definizioni ma per me una indeterminata è la X dei polinomi... E sono di fatto solamente simboli. Probabilmente tu intendi un numero trascendente su $K$.

Per la dimostrazione credo che il principio sia corretto, la forma invece è decisamente da migliorare.

Per il resto ci penso più tardi.

[bezout]

Comunque se un elemento $a$ è trascendente su un campo $K$ allora $K(a)=K(X)=K(U)$ con $U$ indeterminata dove con $=$intendo isomorfo

[vict85]

Comunque se un elemento $a$ è trascendente su un campo $K$ allora $K(a)=K(X)=K(U)$ con $U$ indeterminata dove con $=$intendo isomorfo

Beh, ritengo sia formalmente più corretto dire che è isomorfo al campo delle frazioni dell'insieme dei polinomi ad una incognita sul campo $K$. Che poi è praticamente la stessa cosa.


Tornando al problema. Sia $\tau$ il numero trascendente dell'estensione.

Sia quindi $\alpha=(f(\tau))/(g(\tau))$ con $f(\tau),g(\tau) \in K(\tau)$ con $g(\tau)!=0$. Dato che $\alpha$ è algebrico su $K$ deve esistere un polinomio $h(X) \in K[X]$, con grado maggiore o uguale a $1$ tale che $h(\alpha)=0$.
Sostituendo abbiamo che $h((f(\tau))/(g(\tau))) = (p(\tau))/(q(\tau)) = 0$. Dato che ogni elemento di $K(\tau)$ si scrive in modo unico deve aversi per forza $p(\tau)=0$ e $q(\tau)\in K$.

$q(X)$ è una potenza di $g(X)$ e quindi $g(X)\in K$. Consideriamo quindi $h(f(\tau))=hf(\tau)=0$. È abbastanza immediato verificare che $hf(X)$ è uguale a $0$ se e solo se $h(X) \in K$ oppure $f(X)$ è una radice di $h(X)$ e in particolare è in $K$. Dato che $h(X)$ ha grado almeno $1$ deve aversi $f(X)\in K$ e quindi $\alpha$ è un elemento di $K$.