Sull'importanza delle strutture.

[G.D.]

Sicuramente è una domanda banale, ma ve la faccio ugualmente.
Ci ho pensato stamane in treno mentre andavo all'università.
Se prendo un insieme $V$ che faccia da supporto ad una certa struttura algebrica, e.g. quella di spazio vettoriale, sicuramente posso eseguire le operazioni che ho definito per avere la struttura algebrica in questione. So però che con quegli elementi posso definire anche altre operazioni: impunemente le eseguo. Quando facciò ciò, devo pensare che che non sto più nella struttura algebrica iniziale?
Voglio dire: ritenere che quella nuova operazione venga fatta su quegli elementi continuanado a vedere questi come elementi della iniziale struttura è formalmente sbagliato?

Esempio molto soft.
$RR$ è sia un campo che uno spazio vettoriale su se stesso.
In $RR$ campo posso moltiplicare per l'inverso. In $RR$ spazio vettoriale no, perché nello spazio vettoriale non definiamo un prodotto interno. Mentre sto in $RR$ spazio vettoriale mi viene però in mente che in $RR$ (in generale), e.g. posso fare $3 cdot 4^{-1}$; questo però non vale in $RR$ spazio vettoriale: giusto?

[Martino]

Beh il principio è giusto ma l'esempio no: in $RR$ spazio vettoriale puoi fare $3* 4^{-1}$ perché la moltiplicazione per scalari è consentita (che tu veda $RR$ o $QQ$ come campo base).
Comunque più che di formalmente giusto o sbagliato, è questione di convenienza: quando devi risolvere un problema consideri tutte le proprietà degli oggetti in studio e scegli quelle che fanno al caso tuo, così come per aprire una porta dall'interno utilizzi la maniglia, non la chiave

[G.D.]

Il pensiero mi è venuto fuori all'improvvsio: ero in attesa del treno, sulla linea gialla della piazzola e mentre fissavo i binari ho pensato agli spazi vettoriali (non so nemmeno io per quale motivo), poi alle operazioni che servono per definire uno spazio vettoriale, quindi ho pensato ad $RR$ e mi son detto: "ma tu guarda che strano... in $RR$ campo c'è la moltiplicazione per l'inverso, in $RR$ spazio vettoriale su se stesso no; che cosa curiosa: però se prendo $RR$ senza preoccuparmi di quale struttura algebrica sia il supporto, ci sparo le moltiplicazioni per l'inverso senza preoccuparmene più di tanto... non che forse forse è formalmente sbagliato operare sugli elementi di un insiemi senza avere prima presente di quale struttura sia il supporto e se quella operazione è prevista nella struttura... però sai che noia: uno ogni volta che fa una operazione dovrebbe precisare in che struttura si trova... forse esagero... "
E così ho deciso di porre la domanda a chi ne sa più di me.
Thanks!