Problema di cardinalità..

[dadexix86]

Ciao a tutti, è il mio primo post qui dentro, ma spero di poter essere d'aiuto a qualcuno pure io in futuro.

Ho cercato sul forum, con il "Cerca" ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.

Sto scrivendo la tesi e mi sono trovato davanti ad un problemino molto carino, che ho subito pensato (ahimè) di generalizzare per trovare una soluzione, appunto, generale.

Il problema (ristretto) è sulla cardinalità di $\mathbb{P}_K^n$, ovvero quanti punti possiede lo spazio proiettivo di dimensione $n$ su un campo finito $K$ di dimensione $q=p^m$?

Ricordando che $\mathbb{P}_K^n$ è uno spazio quoziente, il problema si traduce quindi in quello più ampio:
Quante classi di equivalenza distinte ci sono, dato uno spazio finito $X$ e una relazione $\rho$ tra i suoi elementi?

Ipotizzando che la soluzione al primo fosse semplicemente dividere la cardinalità di $K^{n+1}\setminus \{\mathbf{0}\}$ per la dimensione di una generica classe di equivalenza $|[x]|=\phi(q)=p^{m-1}(p-1)$, sono stato portato presumibilmente fuori strada, visto che questo procedimento restituisce un intero (corretto, per quel che sono riuscito a vedere "a mano") solo nel caso in cui $m$ sia $1$, per tutti gli altri casi il risultato è una frazione.

Spero che qualcuno sappia darmi una mano!

Grazie!

Davide

[vict85]

L'insieme delle classi di equivalenza forma una partizione dell'insieme. In generale il fatto che una classe di equivalenza abbia una certa cardinalità non significa che tutte le partizioni abbiano quella cardinalità...
Devi studiare con attenzione la relazione per poter fare affermazioni più precise.

Esattamente quando parli di relazioni di equivalenza dai per scontato che lo spazio quoziente sia uno spazio vettoriale?

[dadexix86]

No, ovviamente in generale no.

Se parti da un insieme qualsiasi e lo quozienti non puoi avere uno spazio vettoriale come risultato.

Però quozientando uno spazio vettoriale $n+1$ dimensionale (privato del vettore nullo) con la relazione di equivalenza definita da $x\rho y$ se e solo e $x=\alpha y$ con $\alpha$ appartenente $K$ quello che ottieni è una delle definizioni di spazio proiettivo.

Considerando tutte le dimensioni finite quello che ottieni è finito.

Per di più la classe di equivalenza di un qualsiasi elemento (stiamo escludendo il vettore nullo) contiene $\phi (p^m)$ elementi, con $\phi$ la funzione di Eulero e $p^m$ l'ordine del campo.

La domanda è "quanti elementi ha questo spazio proiettivo?"
Ovvero, quanti sottospazi $1$-dimensionali contiene un generico spazio vettoriale $n$-dimensionale su un campo finito?

Il discorso più generale potrebbe essere riproposto con "esiste qualche relazione (non banale) tra la cardinalità dell'insieme di partenza e la cardinalità dell'insieme quoziente?"

[Martino]

$|[x]|=\phi(q)=p^{m-1}(p-1)$

Perché non $|[x]|=q-1$ ? Ogni vettore ha $q-1$ multipli non nulli.

[dadexix86]

No, ogni vettore ne ha $\phi(q)$, in quanto la caratteristica del campo è $p$, quindi qualsiasi "coefficiente" $\alpha$ che non sia coprimo con $q$ che moltiplica qualsiasi vettore $\mathbf{x}$ rende $\alpha\mathbf{x}=0$.

[vict85]

Un campo di cardinalità $p^m$ ha un solo $0$, ed essendo un campo tutti gli altri elementi sono distinti da 0. Quindi sono d'accordo con Martino sul fatto che sia $q-1$. Prova a pensare il campo come un'algebra (o uno spazio vettoriale) su $ZZ_p$ e vedi che avrà più senso...

[dadexix86]

Però la caratteristica di un campo è il minimo $n$ per cui si ha che $n*1=0$ e può essere $p$ o $0$ a seconda che il campo minimo sia $\mathbb{Z}_p$ o $\mathbb{Q}$. (O è una definizione sbagliata?)

EDIT: Questo tra l'altro implica che sia così per ogni $x$ nel campo: $p*x=p*(1+1+\ldots+1)=p*1+p*1+\ldots p*1=0+0+\ldots +0 =0$.

[Martino]

No, ogni vettore ne ha $\phi(q)$, in quanto la caratteristica del campo è $p$, quindi qualsiasi "coefficiente" $\alpha$ che non sia coprimo con $q$ che moltiplica qualsiasi vettore $\mathbf{x}$ rende $\alpha\mathbf{x}=0$.

No, attento, stai confondendo $F_q$ con $ZZ//qZZ$.
$ZZ//qZZ$ non è un campo in generale (lo è se e solo se $q$ è primo).

[dadexix86]

@ Martino: la spiegazione di quel fatto l'ho data sotto, nel post appena precedente al tuo, è una definizione sbagliata di caratteristica? Se sì, qual è quella corretta?

[Martino]

Però la caratteristica di un campo è il minimo $n$ per cui si ha che $n*1=0$ e può essere $p$ o $0$ a seconda che il campo minimo sia $\mathbb{Z}_p$ o $\mathbb{Q}$.

Questa definizione è giusta.

EDIT: Questo tra l'altro implica che sia così per ogni $x$ nel campo: $p*x=p*(1+1+\ldots+1)=p*1+p*1+\ldots p*1=0+0+\ldots +0 =0$.

Sono d'accordo che $px=0$ per ogni $x$ nel campo, ma non vedo come questo c'entri col resto.

Insisto che secondo me stai confondendo $F_q$ con $ZZ//qZZ$, infatti tratti $p$ come se fosse un elemento non nullo.

Prova ad esaminare per esempio $F_4^2$ su $F_4$. Ti accorgerai che i multipli non nulli di un vettore non nullo sono $3=4-1$, non $2=\varphi(4)$.