Ciao a tutti, è il mio primo post qui dentro, ma spero di poter essere d'aiuto a qualcuno pure io in futuro.
Ho cercato sul forum, con il "Cerca" ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.
Sto scrivendo la tesi e mi sono trovato davanti ad un problemino molto carino, che ho subito pensato (ahimè) di generalizzare per trovare una soluzione, appunto, generale.
Il problema (ristretto) è sulla cardinalità di $\mathbb{P}_K^n$, ovvero quanti punti possiede lo spazio proiettivo di dimensione $n$ su un campo finito $K$ di dimensione $q=p^m$?
Ricordando che $\mathbb{P}_K^n$ è uno spazio quoziente, il problema si traduce quindi in quello più ampio:
Quante classi di equivalenza distinte ci sono, dato uno spazio finito $X$ e una relazione $\rho$ tra i suoi elementi?
Ipotizzando che la soluzione al primo fosse semplicemente dividere la cardinalità di $K^{n+1}\setminus \{\mathbf{0}\}$ per la dimensione di una generica classe di equivalenza $|[x]|=\phi(q)=p^{m-1}(p-1)$, sono stato portato presumibilmente fuori strada, visto che questo procedimento restituisce un intero (corretto, per quel che sono riuscito a vedere "a mano") solo nel caso in cui $m$ sia $1$, per tutti gli altri casi il risultato è una frazione.
Spero che qualcuno sappia darmi una mano!
Grazie!
Davide