esercizio sui chusi di Zariski

[alberto86]

Salve a tutti..il problema è il seguente: siano $f_1,....,f_r \in C[x,y]$ tali che $MCD\{f_1,...,f_r\}=1$ dimostrare allora che $V(f_1,...,f_r)$ (cioè l'insieme dei punti dove si annullano tutti contemporaneamente)è finito...(quando i polinomi sono 2 è vero per Bezout)

[rubik]

l'insieme dove si annullano tutti è un sottoinsieme dell'insieme dove si annullano i primi due che quindi è finito. che dici?

[alberto86]

purtroppo dire che sono tutti coprimi non equivale a dire che comunque ne prendi due essi sono coprimi esempio $(x-a)(y-b); (x-a)(y-c);(y-b)(y-c)$

[rubik]

mi sembrava troppo facile
per induzione: r=2 vero
possiamo fissiamo $g=MCD(f_1,...,f_(r-1))$ allora se $g=1$ applico ipotesi induttiva, l'intersezione dei primi r-1 è finita quindi a maggior ragione quella di tutti quanti. se $g!=1$ allora $V(g,f_r)$ è finito però questi non sono tutti i punti di intersezione considero $h_i=f_i/g$ e ripeto le componenti a comune sono necessariamente finite quindi ottengo al più un numero finito di intersezioni. scappo all'uni dimmi se ti torna!

[alberto86]

l'ho risolto stamattina sul treno che a differenza della notte, in cui uno dorme, porta consiglio...bastava sfruttare il fatto che in $C(x)[y]$ hai l'algoritmo delle divisioni euclidee per trovare il MCD; in particolare inizi con $f_1,f_2$ e trovi che esistono $s_1,t_1\in C(x)[y]$ per cui $s_1 f_1+t_1 f_2=r_1$ con $r_1=MCD\{f_1,f_2\}$ in particolare $(r_1)=(f_1,f_2)$ poi fai lo stesso tra $r_1,f_3$ e trovi un $r_2$ per cui $(r_2)=(r_1,f_3)=(f_1,f_2,f_3)$ iteri alla fine arrivi a farlo tra $(r_{n-1})=(f_1,...,f_{n-1})$ e $f_n$ ma poichè erano tutti coprimi hai che $(1)=(f_1,...,f_n)$ in $C(x)[y]$ per cui esistono $h_1,...,h_n\in C(x)[y]$ in modo che si abbia $1=f_1 h_1+...+f_n h_n$ raccogliendo il minimo comune multiplo dei denominatori e portando dall'altra parte trovi che esiste un poinomio della sola x per cui si abbia $r(x)=f_1 h_1 '+...+f_n h_n '$ dove quest'uguaglianza vale in $C[x,y]$..il membro di sinistra ha finiti zeri

[rubik]

volevo chiederti se hai un testo su cui studiare questi argomenti, non capisco perchè ma il mio professore è restio a darcene uno. ciao