campo di spezzamento

[miles_davis]

sia $f(x)=x^3+3x+2$ un polinomio in $F_5$ il campo a cinque elementi
determinare un campo di spezzamento K di f
determinare tutte le radici di f(x) in K
dire se $x^3+1$ ha tutte le sue radici in K

[Martino]

[mod="Martino"]Questo forum non è inteso come risolutore automatico di esercizi per casa.
Per favore proponi i tuoi tentativi di soluzione e le tue idee, grazie.[/mod]

[miles_davis]

mi scusi... è che non ho mai fatto eserizi sui campi di spezzamento in caratteristica p... se vuoi ti dico come si fa su Q ma non penso interessi a molti la cosa... comunque la domanda è: si può trasportare il modo di ragionare per Q su un campo di caratteristica 5... in altri termini, come riduco le radici che aggiungo mod 5?
ad ogni modo è chiaro (nonché evidente) che questo non è un risolutore automatico di esercizi, ma è anche vero che nessuno è obbligato a rispondere, quindi non vedo dov'è il difetto nel mio messaggio.

[Martino]

Volevo solo invitarti a proporre un'idea di soluzione. Anche solo dire quello che hai detto nel tuo secondo messaggio, cioe' focalizzare l'attenzione sulle tue vere difficolta'. Se tu scrivi solo "trovare questo, determinare questo" non si capisce se e' un esercizio che stai proponendo perche' lo trovi interessante, o se e' un esercizio che non riesci a risolvere, e in questo secondo caso se non sai nemmeno da dove cominciare o se hai gia' un'idea. Spesso capita che uno chiede delucidazioni trascrivendo un intero esercizio quando magari aveva solo fatto un errore di calcolo. Insomma, ti chiederei di elaborare un po' il problema, di non limitarti a scrivere l'enunciato.

Il procedimento che farei io e': determinare se il polinomio e' irriducibile in $F_5[X]$, e in tal caso aggiungere una radice $alpha$ e dedurre se possibile le altre da essa, cioe' determinare se il polinomio e' irriducibile anche in $F_5[alpha][X]$ oppure no, e continuare in questo modo. Una volta che hai trovato tutte le radici vedi se puoi scrivere il campo di spezzamento come un'estensione semplice di $F_5$, cosi' da poterci ragionare in modo pratico e rispondere ad altri eventuali domande. Ricorda che non sei su $QQ$ o $RR$ ma sul campo con $5$ elementi e regolati di conseguenza.

[Lord K]

Vero quel che dici Martino, ma $alpha$ in questo modo è comunque la radice nel campo dei complessi...

[Martino]

Vero quel che dici Martino, ma $alpha$ in questo modo è comunque la radice nel campo dei complessi...

No. Il campo dei complessi non c'entra, ha caratteristica zero.
Dato ogni campo $k$ ne esiste uno che contiene una radice $alpha$ di un polinomio irriducibile $f(x)$ di $k[X]$: quello universale con questa proprieta' e' il campo

$L = k[X]//(f(x)) cong k[alpha]$

(questo argomento e' conosciuto come "aggiunzione di radici").

[Lord K]

Ovvio che sì ma $alpha$ è un numero complesso in generale...

[Martino]

Ovvio che sì ma $alpha$ è un numero complesso in generale...

Ripeto, no. $alpha$ non è un numero complesso. I numeri complessi non c'entrano nulla.

$alpha$ è la classe di $x$ nell'anello quoziente $k[X]//(f(x))$.

[Lord K]

Alle volte si usano i simboli $sqrt(-1)$ per indicare quei quozienti ed a quelli facevo riferimento, ovvero l'aggiunta di radici. La denominazione "numero complesso" comprendo sia dunque fuori luogo, ma il mio intento era un approccio più intuitivo.

[Martino]

Alle volte si usano i simboli $sqrt(-1)$ per indicare quei quozienti ed a quelli facevo riferimento, ovvero l'aggiunta di radici. La denominazione "numero complesso" comprendo sia dunque fuori luogo, ma il mio intento era un approccio più intuitivo.

Capisco. Secondo me questo approccio intuitivo e' utile per abituarsi ad usare delle cose, ma senza le formalizzazioni corrette si rischia che uno esca da un argomento con le idee tanto chiare quanto sbagliate. Nei miei interventi precedenti volevo sottolineare il fatto che non esistono omomorfismi di campo non nulli $F_5 to CC$, quindi e' difficile pensare alle radici aggiunte come dentro $CC$.