campo di spezzamento

da **Lord K** » 27/03/2009, 10:31

[OT]

Il mio intento è quello di aiutare mediante la comprensione intuitiva e solo poi con il formalismo che, a mio avviso, appensantisce troppo i discorsi ed allontana i non appassionati come me e te dal nocciolo della questione. Fai bene in ogni caso a bloccare il mio eccessivo "intuitismo" (passami il termine) e per questo ti ringrazio.

[/OT]

da **Thomas** » 06/04/2009, 23:08

forse questo file pdf può essere d'aiuto (primo risultato):

http://www.google.it/search?hl=it&q=con ... erca&meta=

io l'ho appena letto.... forse si può fare così per trovare il campo di spezzamento:

- osserviamo che il polinomio è irriducibile in $F_5$. Se lo fosse avrebbe una radice, ma non ne ha;

- aggiungiamo come suggeriva Martino una radice $\alpha$. Il campo $F_5[\alpha]$ avrà come generatori ${1,\alpha,\alpha^2}$ ed avrà 125 elementi.

- Vediamo se le altre radici ci sono... Con ruffini si trova $x^2+3x+2=(x-\alpha)(x^2+x\alpha+\alpha^2+3)$... le radici del polinomio di secondo grado ci stanno se il discriminante $-3\alpha^2-2$ è un quadrato nell'estensione... (credo funzi così, non so se ci vuole caratteristica diversa da due)... provando a risolvere a mano imponendo la relazione:

$(a+b\alpha+c\alpha^2)^2=-3\alpha^2-2$

se non sbaglio si ottiene soluzione con $a=0,b=-2,c=1$, salvo (probabili) errori di conto... e quindi le altre due radici esistono....

magari si può fare in altro modo, ma visto che nessuno risponde c'ho provato io.... ho cmq chiesto ad un forumista più bravo di me di darci un'occhiata ed ha detto che quando ha tempo ci fa sapere! Intanto magari se ho scritto fesserie ditelo...

da **Thomas** » 07/04/2009, 16:32

anyway i calcoli del sistema sono sbagliati.... ora però non li completo (qualcuno ha voglia?) perchè il mio metodo in sostanza si riduce a distinguere i vari casi sperando che ci sia una soluzione....

nel caso non la si trovasse sinceramente proverei ad aggiunguere nuove radici, ma i calcoli diventerebbero ancora più lunghi....

da **Sirya88** » 07/04/2009, 17:03

[quote="Thomas"]anyway i calcoli del sistema sono sbagliati.... ora però non li completo (qualcuno ha voglia?) perchè il mio metodo in sostanza si riduce a distinguere i vari casi sperando che ci sia una soluzione....

nel caso non la si trovasse sinceramente proverei ad aggiunguere nuove radici, ma i calcoli diventerebbero ancora più lunghi....[/quote]
non vorrei sbagliare, ma se correggi il polinomio che hai scritto male e lo dividi per $x-alpha$ hai esattamente quel quoziente

PS perchè non esce la finestra del quote a me?????

da **Thomas** » 07/04/2009, 17:33

si si.... intendi che ci va un x^3, giusto? no la divisione con ruffini potrebbe essere giusta... quello che è sbagliato è il calcolo dei coefficienti $a,b,c$....

credo che ti manchi una barra sul [\quote]... prova...

da **Sirya88** » 07/04/2009, 17:39

quelli non li ho verificati XD
cmq... non è questione di barra, si vede che il quote mi ha presa in antipatia :-D

da **Sirya88** » 07/04/2009, 17:57

[quote="Thomas"]- Vediamo se le altre radici ci sono... Con ruffini si trova $x^3+3x+2=(x-\alpha)(x^2+x\alpha+\alpha^2+3)$... le radici del polinomio di secondo grado ci stanno se il discriminante $-3\alpha^2-2$ è un quadrato nell'estensione... (credo funzi così, non so se ci vuole caratteristica diversa da due)... provando a risolvere a mano imponendo la relazione:

$(a+b\alpha+c\alpha^2)^2=-3\alpha^2-2$

[/quote]
prima di andare avanti mi sorge un dubbio...
perchè imponi che $-3alpha^2-2$ sia uguale al quadrato di un polinomio di 2 grado???? il quadrato di un polinomio di 2 grado ha 4 grado, a che ti servirebbe????

da **Thomas** » 07/04/2009, 20:36

beh non è proprio un polinomio di secondo grado, nel senso che $\alpha$ è proprio un elemento del campo, non una variabile... quello è il generico elemento dell'estensione, con $a,b,c$ in $F_5$... e $\alpha$ rispetta $\alpha^3=-3\alpha-2$, quindi si "scende di grado" ed è possibile che quell'uguaglianza venga verificata...

la cosa mi servirebbe perchè se quell'elemento si riesce a scrivere come quadrato allora il discriminante del polinomio di secondo grado (quello in $x$)è un quadrato perfetto ed in sostanza si può "estrarre la radice" e portare a buon fine la classica formula di soluzione delle equazioni di secondo grado per trovare (nel campo già costruito) le radici...

cmq non stare ad ascoltarmi troppo, spero che intervenga qualcuno a dire cosa c'è di corretto...

da **rubik** » 07/04/2009, 21:04

Thomas ha scritto:beh non è proprio un polinomio di secondo grado, nel senso che $\alpha$ è proprio un elemento del campo, non una variabile... quello è il generico elemento dell'estensione, con $a,b,c$ in $F_5$... e $\alpha$ rispetta $\alpha^3=-3\alpha-2$, quindi si "scende di grado" ed è possibile che quell'uguaglianza venga verificata...

la cosa mi servirebbe perchè se quell'elemento si riesce a scrivere come quadrato allora il discriminante del polinomio di secondo grado (quello in $x$)è un quadrato perfetto ed in sostanza si può "estrarre la radice" e portare a buon fine la classica formula di soluzione delle equazioni di secondo grado per trovare (nel campo già costruito) le radici...

cmq non stare ad ascoltarmi troppo, spero che intervenga qualcuno a dire cosa c'è di corretto...

secondo me il procedimento è giusto, i calcoli non so, e non so neanche se c'è un altro modo

campo di spezzamento

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