COMPLEMENTI DI ALGEBRA aiuto!

[dreamer88]

aiuto ragazzi sto iniziando adesso qst materia ma non so fare quasi niente
Trovare un isomorfismo esplicito tra Z5/(x^2+2) e Z5/(x^2+3)

2- Se Fconten in K estens algebrica, F* ch alg di F, K* ch alg di K
allora K* isomorfo a F*??? e cioè??

3-chF=p e sia F conten K estensione tc {K:F}=n con p che non divide n F cont K è separabile.

[mulh]

Caro dreamer88, dai problemi di Teoria dei Campi che posti noto con piacere che siamo colleghi di corso! Comunque:

1) Per trovare l'isomorfismo tra i due campi finiti, ti consiglio di scrivere "esplicitamente" i due campi, e cioè

$A = (ZZ_5[X])/(x^2+2) = { a+tb | a,b in ZZ_5, t^2=-2=3}$

$B = (ZZ_5[X])/(x^2+3) = { a+wb | a,b in ZZ_5, w^2=-3=2}$

questa scrittura può aiutarti molto a capire come si svolgono concretamente le operazioni nei due campi e quindi a trovare l'isomorfismo.

2) Tra le definizioni equivalenti di campo algebricamente chiuso, abbiamo che se $FsubK$ è un estensione algebrica, allora $F=K$. Nel nostro caso abbiamo:

$FsubK$ estensione algebrica,
$bar{K}$ chiusura algebrica di K e $bar{F}$ chiusura algebrica di F.
Allora K contiene F come sottocampo, da cui $bar{K}$ contiene una copia isomorfa di $bar{F}$ come sottocampo (in quanto in $bar{K}$ "aggiungiamo" tutte le soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti in K, in particolare di quelle a coefficienti in F). Cioè si ha
$bar{F}subbar{K}$ estensione algebrica. Ma i due campi sono algebricamente chiusi, segue che sono uguali.

EDIT: avevo dimenticato [X]

[vict85]

Solo un commento... $(x^2+2)$ è un ideale di $\ZZ_5 [x]$ e non di $\ZZ_5$. Quindi è più corretto scrivere $\ZZ_5 [x]//(x^2+2)$.

[mulh]

Hai ragionissima, avevo sbagliato a scrivere.

[dreamer88]

grazie per l'aiuto...ma x l'isomorfismop di campi devo specificare i corrispondenti..no?

[mulh]

Si, una volta trovata l'immagine di "t" diciamo che il grosso è fatto... la verifica che l'applicazione è un isomorfismo dovrebbe essere banale.