esercizio svolto da me CAMPI

[dreamer88]

trovare [Q(i,radice quarta di 2:Q]
a=i+ radice quarta di 2
a-i=radice quarta di 2
(a-i)^4=2
sviluppo e porto termini al 1 menbro e termini al secondo
a^4-6a^2-1=4a^3i-4ai
a^4-6a^2-1=4ai(a^2-1)
(a^4-6a^2-1)^2=(4ai)^2(a^2-1)^2
sviluppo e mi viene un polin di 8 grado...?? ho finito? è giusto?
e poi mi kiede di trovare una base...boh!

[mulh]

Allora, l'esercizio richiede di trovare il grado dell'estensione $QQsubQQ(root(4)(2),i)$. Si tratta di un'estensione algebrica e finitamente generata, quindi finita. Inoltre la possiamo spezzare nelle due estensioni semplici $QQsubQQ(root(4)(2))subQQ(root(4)(2))(i)=QQ(root(4)(2),i)$, entrambe finite: il grado dell'estensione cercato è dunque il prodotto dei due gradi.
Si ha
$[QQ(root(4)(2)):QQ]=deg(P)$ dove P è il polinomio minimo di $root(4)(2)$ su $QQ$.
Si verifica facilmente che $P=x^4 - 2 $ (in quanto irriducibile in $QQ$) da cui il grado della prima estensione è 4.
Per verificare poi che il polinomio minimo Q di $i$ su $QQ(root(4)(2))$ è $x^2+1$, basta osservare che $i notin QQ(root(4)(2))$ e quindi Q ha grado almeno 2. Da cui il grado della seconda estensione è 2, quindi il grado cercato è $2*4=8$.

[dreamer88]

grazie...allora quello ke ho fatto io è semplicemente sbagliato?

[mulh]

Se non ho capito male, hai cercato un polinomio in $QQ[X]$ che si annullasse in $root(4)(2)+i$. Il fatto che $[K:F]$ sia uguale al grado del polinomio minimo vale quando ha senso parlare di polinomio minimo, cioè quando l'estensione è semplice (generata da un unico elemento di cui appunto si cerca il polinomio minimo).
Quando non è semplice, ma ad esempio è generata da 2 elementi, si può spezzare l'estensione in più estensioni semplici e lavorare sulle singole.

Per quanto riguarda la base, si può fare il prodotto delle due basi ${1,root(4)(2),sqrt(2),(root(4)(2))^3}$ e ${1,i}$.

[vict85]

Se non ho capito male, hai cercato un polinomio in $QQ[X]$ che si annullasse in $root(4)(2)+i$. Il fatto che $[K:F]$ sia uguale al grado del polinomio minimo vale quando ha senso parlare di polinomio minimo, cioè quando l'estensione è semplice (generata da un unico elemento di cui appunto si cerca il polinomio minimo).
Quando non è semplice, ma ad esempio è generata da 2 elementi, si può spezzare l'estensione in più estensioni semplici e lavorare sulle singole.

Per quanto riguarda la base, si può fare il prodotto delle due basi ${1,root(4)(2),sqrt(2),(root(4)(2))^3}$ e ${1,i}$.

Ogni estensione algebrica è un'estensione semplice per un opportuno elemento. Per un estensione del tipo $QQ(a,b)$ l'elemento è nella forma $a+hb$ per un qualche $h in NN$.
In particolare $QQ(root(4)(2)+i) = QQ(root(4)(2), i)$. D'altra parte trovo che il medoto corretto per calcolarlo sia come ha fatto mulh.

Affermazione: $QQ(root(4)(2)+i) = QQ(root(4)(2), i)$

Dimostrazione: Ovviamente $QQ(root(4)(2)+i) \subseteq QQ(root(4)(2), i)$ e, come è già stato fatto notare, $[QQ(root(4)(2), i) : QQ]=8$

Dato che $QQ(root(4)(2)+i) \subseteq QQ(root(4)(2), i)$ allora $[QQ(root(4)(2), i) : QQ] = [QQ(root(4)(2), i) : QQ(root(4)(2)+i)][QQ(root(4)(2)+i) : QQ]$.

Il polinomio minimo su $QQ$ di $root(4)(2)+i$ è di grado 8 (anche se non sono sicuro sia quello segnalato da dreamer88) e quindi $[QQ(root(4)(2)+i) : QQ]=8$.

Quindi $[QQ(root(4)(2), i) : QQ(root(4)(2)+i)]=1$ e questo significa che coincidono.


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Un metodo più diretto era dimostrare che $root(4)(2)$ e $i$ appartengono a $QQ(root(4)(2)+i)$.

[mulh]

Esatto, un altro modo è proprio quello di vict di dimostrare che $QQ(root(4)(2),i)=QQ(root(4)(2)+i)$ e vedere che il suo polinomio minimo ha grado 8.