[Algebra] $p$ primo $hArr$ $p|2^p -2$

[Gatto89]

Ovviamente non è vero , il problema chiedeva di dimostrare per entrambe le implicazioni se fossero vere o false.

Come detto nel titolo, la "tesi" è: $p$ primo $hArr$ $p|2^p -2$


$rArr$) Questa implicazione dovrebbe essere vera: sia $p$ primo, allora:

Per $p = 2$ la condizione è verificata.

Supponiamo $p > 2$ e quindi $p$ dispari. Si ha quindi $MCD(p, 2) = 1$.

Allora (per Fermat) segue che $2^(p-1) \equiv 1 (mod p)$ o equivalentemente che $p|2^(p-1) -1$ e quindi $p|2(2^(p-1) -1) = 2^p -2$ ovvero la tesi.


Invece per la parte $lArr$ trovo qualche difficoltà nel dimostrare che sia falsa (sarebbe decisamente strano se anche questa fosse vera).

Idee?

[vict85]

Sicuramente non vale per il primo numero di Carmichael (561) e credo che valga anche per tutti gli altri...
Probabilmente c'è comunque un numero più basso per cui non vale.

[deserto]

Un esempio trovato nella rete più basso di quello fornito da vict85, è 341

[deserto]

Un esempio trovato nella rete più basso di quello fornito da vict85, è 341

--- non so perchè ma mi è partito un messaggio doppio ---

[Gatto89]

Ok, una volta trovato il numero (non primo) non è difficile in genere dimostrare che in effetti verifica quella condizione ( per esempio, per 341 segue dal fatto che $2^10 = 1024 \equiv 1 (mod 341)$ ).

Ma per trovarlo un modo c'è ?

[vict85]

Ok, una volta trovato il numero (non primo) non è difficile in genere dimostrare che in effetti verifica quella condizione ( per esempio, per 341 segue dal fatto che $2^10 = 1024 \equiv 1 (mod 341)$ ).

Ma per trovarlo un modo c'è ?

Io mi sono basato semplicemente sul fatto che quei numeri sono dei controesempi per numerosi problemi simili e quindi sono i primi a cui conviene guardare...

[Lord K]

Osservate qui ed avrete le vostre risposte

http://mathworld.wolfram.com/WieferichPrime.html