grado e base di un' estensione di campi

[rose]

ciao mi dareste una mano per risolvere questo esercizio?

si consideri il polinomio $f(x)=x^4+3*x^2-1$ $in$ $ZZ[x]$ e sia $g(x)$ il polinomio di $ZZ_2[x]$ ottenuto da f(x) riducendo i coefficienti modulo 2
a) si trovi una decomposizione di f(x) in fattori irriducibili di $QQ[x]$
b) si determini il campo di spezzamento L di f(x) su Q
c) si trovi il grado [L:Q] ed una base dell'estenzione $QQsubeL$
d) si determini un campo di spezzamento M di f(x) su specificando il grado $[M:ZZ_2]$ ed una base dell'estensione $ZZ_2subeM$

soluzione
a) f(x) è irriducibile in $QQ[x]$
b)per il campo di spezzamento mi trovo le radici del polinomio che dovrebbero essere $+-sqrt((-3+-sqrt(13))/2)$ a questo punto $L=QQ(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2),-sqrt((-3+sqrt(13))/2),-sqrt((-3-sqrt(13))/2))$
questo campo lo posso scrivere in modo più semplice vero? L lo posso scrivere come $QQ(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2))=QQ(+sqrt((-3+sqrt(13))/2))$
c) per trovarmi il grado dovrei usare il teorema di moltplicazione dei gradi $[L:Q]=[L:Q(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2),-sqrt((-3+sqrt(13))/2))]*[Q(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2),-sqrt((-3+sqrt(13))/2))):Q(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2))]*[Q(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2)):Q(+sqrt((-3+sqrt(13))/2))]*[Q(+sqrt((-3+sqrt(13))/2)):Q]$ ora ognuno di questi gradi è uguale grado del proprio polinomio minimo. In questo caso è 4per ognuno di essi?
d) non so come si procede

[rubik]

non sono molto ferrato nei campi di spezzamento, ti scrivo quello che penso io e vedi se può esserti utile: il primo campo che scrivi contiene tutte le radici del polinomio mi pare che sia effettivamente il campo di spezzamento, se un campo contiene un elemento contiene anche l'opposto quindi se aggiungi $+sqrt((-3+sqrt(13))/2)$ aggiungi anche $-sqrt((-3+sqrt(13))/2)$ quindi basta aggiungere $+sqrt((-3+sqrt(13))/2)$ e $+sqrt((-3-sqrt(13))/2)$. dovresti controllare se aggiungendo $+sqrt((-3+sqrt(13))/2)$ non aggiungi $+sqrt((-3-sqrt(13))/2)$ o viceversa.

l'uguaglianza che scrivi è proprio quest'ultima cosa che ho detto: hai controllato?

$QQ(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2))=QQ(+sqrt((-3+sqrt(13))/2))$

se l'uguaglianza è vera allora il grado dell'estensione è semplicemente il grado del polinomio minimo di $+sqrt((-3+sqrt(13))/2$

se è falsa devi calcolare il grado di $QQ(+sqrt((-3+sqrt(13))/2),+sqrt((-3-sqrt(13))/2))$ e lo fai moltiplicando i gradi, non ti vengono però entrambi di grado 4 (uno sarà di grado 2)

per il punto d: il polinomio non ha radici in $ZZ_2$ e non si può scrivere come prodotto di due polinomi di secondo grado (devi fare qualche conto) quindi è irriducibile, il metodo standard per aggiungere radici è considerare l'anello $ZZ_2[y]//(y^4+y^2+1)$ essendo un ideale massimale il quoziente è un campo estensione di $ZZ_2$ e contiene una radice del nostro polinomio per costruzione $[y]$

questo campo le contiene tutte? almeno un'altra? quel campo si può scrivere come $ZZ_2[alpha]$ con $alpha$ che soddisfa la relazione $alpha^4+alpha^2+1=0$

ora fai una divisione tra polinomi $x^4+x^2+1//x-alpha$ (la puoi fare perchè $alpha$ è radice) ottieni (a meno di miei errori di calcolo) quoziente $x^3+alphax^2+(alpha^2+1)x+alpha^3+alpha$ con resto $alpha^4+alpha^2+1=0$

dovresti verificare se qualche elemento del campo $ZZ_2(alpha)$ annulla il polinomio, io provando gli elementi più semplici $alpha,alpha^2$ (poi mi sono fermato) ho trovato che in effetti $alpha^2$ annulla il polinomio $x^3+alphax^2+(alpha^2+1)x+alpha^3+alpha$ infatti se lo valuti ottieni $alpha^6+alpha^5+alpha^4+alpha^2+alpha^3+alpha=alpha^2(alpha^4+alpha^2+1)+alpha(alpha^4+alpha^2+1)=0$ per la relazione su $alpha$

adesso sai che $x^3+alphax^2+(alpha^2+1)x+alpha^3+alpha$ è divisibile per $alpha^2$ devi fare la divisione di nuovo e vedere se il polinomio quoziente ha radici oppure no, se ne trovi una di conseguenza ne ha anche un'altra e hai finito. se non ce l'ha chiamando $q(x)$ il polinomio quoziente ottieni il campo di spezzamento facendo $ZZ_2(alpha)[x]//q(x)$ questo campo come prima ha una radice del polinomio e quindi come prima anche l'altra (sai dire perchè?)

io farei così magari si può fare meglio non so. ciao