rubik ha scritto:fissato n possiamo prendere x in $U_n$ hai un solo insieme e non usi l'assioma della scelta, poco sopra però hai detto che $AA n$ si ha $W_n!=0$ quindi anche se un po' nascosto secondo me stai prendendo un $x in U_n AA n$ e hai bisogno dell'assioma della scelta.
Puo' darsi - quindi secondo te la dimostrazione di $\forall n$ $(U_n\ne \emptyset \Rightarrow W_n\ne \emptyset)$ richiede di "fare una selezione".
Non ne sono ancora convinto dato che non ho bisogno di costruire nessuna $(x_n)$ che stia in $U_n$ per ogni $n$ - la successione la trovo dopo, in $W_n$, una volta dimostrato che $W_n\ne \emptyset$ (in ogni caso mi riprometto di chiedere a un esperto).
Comunque ho cercato di fabbricare quest'esempio proprio per capire bene come funziona AC-
EDIT
esempio stupido: l'implicazione:
$\forall n (U_n\ne\emptyset\Rightarrow (\exists x: x\in U_n))$
usa l'assioma della scelta?
A intuito direi di no, a differenza di
$(\forall n U_n\ne\emptyset)\Rightarrow (\forall n (\exists x: x\in U_n))$
EDIT 2
Lasciate perdere "a differenza di..." scritto sopra, un po' troppo frettolosamente. Mi sembra chairo che se vale
$\forall n (U_n\ne\emptyset\Rightarrow (\exists x: x\in U_n))$ allora necessariamente $(\forall n U_n\ne\emptyset)\Rightarrow (\forall n (\exists x: x\in U_n))$.
Ripeto pero' che, A PARER MIO nessuno di questi usa l'assioma della scelta, che sarebbe invece necessario per dedurre
$\exists \sigma:NN\to X$ tale che $\forall n$ $\sigma(n)\in U_n$
