Ho continuato a riflettere su AC e ho fatto qualche indagine. Se dissonance vuole approfondire la questione
c'e' un libro interessante (e relativamente "divulgativo"), con estratti consultabili in rete,
su tutte le implicazioni e controimplicazioni di AC e dei suoi fratelli/cugini.
Si tratta di "Axiom of choice" di Horst Herrlich, vedi:
http://books.google.it/books?id=JXIiGGm ... t&resnum=1Per esempio la questione continuita' <-> continuita' sequenziale si puo' dimostrare senza AC se si va da DA UN APERTO
di $RR$ a $RR$. Nota che bisogna partire da un aperto mentre e' positivamente falso (senza AC) se si vuole
passare dalla continuita' sequenziale alla continuita' in un singolo punto.
La dimostrazione si trova nella parte consultabile del libro sopra (e anche altrove in rete) ed e' basata sul fatto che
$QQ$ e' denso $RR$ e $QQ$ e' numerabile. Peraltro io mi sono intestardito a rifare la dimostrazione cercando di ripetere
il ragionamento per assurdo che si farebbe usando $AC$. Vi riporto la mia dim. perche' (se e' giusta...) mette in evidenza
una sottile distinzione sul senso di "fare infinite scelte".
TEOREMA
Sia $X$ uno spazio metrico separabile: esiste $D\subset X$ tale che $D$ e' numerabile e $D$ e' denso in $X$.
Sia $A\subset X$ aperto e siano $f:A\to Y$ dove $Y$ e' un altro spazio metrico.
Allora $f$ e' continua in $A$ se e solo se $f$ e' sequenzialmente continua in $A$
DIM. (senza usare l'assioma della scelta)
Fissiamo innanzitutto una numerazione di $D$, cioe' una bigezione $\sigma:NN\to D$
1) Lemma preliminare: Se $x\in A$ esiste una successione $(x_n)$ di punti di $A$ tale che $x_n\to $x$.
Dim. Per ogni $n$ poniamo \(k_n:=\min \{k\in \mathbb{N}: \sigma(k) \in B(x,1/n)\cap A\}\); e' chiaro che $x_n:=\sigma(k_n)\to x$.
2) Supponiamo ora per assurdo che $f$ sia seq. continua ma non continua in $A$. Allora esiste un punto $x_0$ di $A$ tale che $f$ non e'
continua in $x_0$. Negando la definione di continuita' si trova che esiste $\epsilon>0$ tale che
$\forall n\in NN$ $U_n:={x\in A:dist_X(x,x_0)<1/n, dist_Y(f(x),f(x_0))\geq\epsilon}\ne \emptyset$
Affermo che per ogni $n$ in $NN$
$W_n:={x\in A\cap D:dist_X(x,x_0)<2/n, dist_Y(f(x),f(x_0))\geq\epsilon/2}\ne \emptyset$
INFATTI (*): fissiamo $n$ in $NN$; dato che $U_n\ne\emptyset$ possiamo prendere $x$ in $U_n$. Per il Lemma esiste $(x_k)$
in $A\cap D$ tale che $x_k\to x$. Quindi definitivamente $dist_X(x_k,x)<2/n$; inoltre, dalla continuita' sequenziale di
$f$ in $x$ possiamo ricavare che definitivamente $dist_Y f(x_k),f(x_0))>\epsilon/2$ e dunque definitivamente $x_k\in W_n$
che dunque e' diverso dal vuoto.
Allora prensiamo $h_n:="min"{h\in NN:\sigma(h)\in W_n}$; e' facile verificare che $x_n:=\sigma(h_n)\to x_0$, ma
$dist_Y f(x_n),f(x_0))>\epsilon/2$ e quindi $f$ non e' sequenzialmente continua in $x_0$ ASSURDO.
COMMENTO
Nel punto (*) fissato $n$ si sceglie un elemento $x$ nell'insieme $U_n$; cio' nonostante SECONDO ME non si usa l'assioma della
scelta dato che non si usa tale $x$ per definire una funzione $n\mapstox(n)$. Voi che ne pensate ?
Chiedero' comunque conferma al mio esperto, quando lo trovo.
You are in a comfortable tunnel like hall.
To the east there is a round green door.
>OPEN DOOR
>GO EAST
静かに時の傷に苦しむ
群れを組んでわ飛ばない鷹
