Non riesco a risolvere questo esercizio:
Se A,B insiemi totalmente ordinati allora:
1) Se A è ben ordinato allora $B^A$ è totalmente ordinato con l'ordinamento:
$f<g iff f(a)<g(a)$ dove $a=min{f!=g}$
2) Se anche B è ben ordinato allora $B^A$ è ben ordinato.
Il punto 1 l'ho fatto. Per il punto 2 ho tentato varie strade. Quella che mi sembrava più probabile è:
negando la tesi supporre che $B^A$ non sia ben ordinato quindi possa contenere una catena discendente (di funzioni). Da questa catena costruire una catena discendente di elementi di B (avevo pensato a lavorare con le immagini di queste funzioni) e dunque avere un assurdo. Tuttavia con questo ragionamento ho dimostrato solo che l'insieme delle funzioni non crescenti da A a B è ben ordinato e non riesco ad estenderlo a tutto l'insieme $B^A$.
Suggerimenti?
Inoltre mi chiedevo: è vera l'implicazione inversa in almeno uno dei due punti?
Grazie.