azioni di gruppi transitive, sottogruppi e orbite

[ficus2002]

Studiando la teoria dei gruppi, e in particolare le azioni di un gruppo di un insieme, sono inceppato sulla seguente questione:
Sia $G$ un gruppo che agisce transitivamente su un insieme $X$; ricordo che l'azione è transitiva quando per ogni $x,y\in X$ esiste $g\in G$ tale che $y=gx$.
Siano poi $x\in X$ e Stab$(x):={g\in G: gx=x}$.
Supponiamo esista un sottogruppo $H$ di $G$ tale che
Stab$(x)\subset H\subset G$
dove le inclusioni sono strette.
Mi chiedo se si possa avere $Hx=X$ dove
$Hx:={hx:h\in H}$.
La domanda sorge dal fatto che in una dispensa (in particolare qui, nella dimostrazione della proposizione 4.43 pag. 65 e 66), si afferma, senza giustificazione, che nelle condizioni di cui sopra si ha $Hx\ne X$.
Ciò equivale a dire che $H$ agisce su $X$ non transitivamente su $X$; non mi spiego, però, perché necessariamente un sottogruppo proprio di $G$ non possa agire transitivamente su $X$.
Infatti, il ragionamento che mi è viene è: per ogni $x,y\in X$ possono esistere, in generale, più elementi $g\in G$ tali che $y=gx$; quindi, anche se $H$ è un sottogruppo proprio di $G$ può darsi che ci siano comunque abbastanza elementi in modo tale che l'azione di $H$ risulti transitiva.
Cosa ne pensate?

[Martino]

Ciao!
Supponi per assurdo che $Hx=X$.
Prendi un qualunque $g in G$. Allora $gx in X = Hx$, quindi esiste $h in H$ tale che $hx=gx$, e quindi $g^{-1}h in Stab(x) leq H$.
In particolare $g^{-1} in H$, cioè $g in H$. Segue che $H=G$, assurdo.

[ficus2002]

Grazie mille, ora è tutto chiaro