Sottogruppi di Sylow

[Hop Frog]

Ci hanno assegnato un esercizio di cui però non abbiamo la correzione e volevo sapre se l avevo svolto correttamente.
Es:
Sia G un gruppo di ordine 231.
(a) Si determini quanti sono gli 11-sottogruppi di Sylow di G.
(b) Si determini quanti sono gli elementi di G di ordine 11.

Ho proceduto in questo modo:
sia n11 il numero di 11-sott. di Sylow di G.
sappiamo che n11 divide 231 (3x7x11) ed è congruo a 1 (mod 11).
Quindi l' unica possibilità è n11=1.
E il primo punto dovrebbe essere concluso (?).
Dunque sappiamo che un 11-sott. di Sylow ha appunto 11 elementi, di cui un elemento neutro e altri 10 elementi di ordine 11.
Quindi gli elementi di G ordine 11 sono 10.
E' corretto?
grazie.

[Martino]

Corretto.

[Hop Frog]

ma la mia domanda allora è questa: dato soltanto il numeri di elementi di G, noi possiamo sapere sempre quanti sono gli elementi di ordine n, ovviamente dove n|(|G|) ?

[Martino]

dato soltanto il numeri di elementi di G, noi possiamo sapere sempre quanti sono gli elementi di ordine n, ovviamente dove n|(|G|) ?

No. Per esempio i gruppi $C_4$ e $C_2 xx C_2$ hanno entrambi 4 elementi ma $C_4$ ha due elementi di ordine 4 e un elemento di ordine 2, mentre $C_2 xx C_2$ ha tre elementi di ordine 2.