[Algebra] Esercizi.

Messaggioda lorandrum » 20/07/2005, 13:34

Ciao a tutti.
Potete aiutarmi con questi esercizi?

1) Sia Z_3[x] l'anello dei polinomi sul campo Z_3 (insieme delle classi di resto mod 3), e sia a(x)=x^2+2 \in Z_3[x].
Dovrei determinare gli elementi unitari e divisori dello zero di \frac{Z_3[x]}{(a(x))}.

2) Si considerino le permutazioni:
-\alpha=(1234)(56)
-\beta=(123)(456)
-\gamma=(12)(34)(56)
-\delta=(12)(345).
Si stabilisca per ciascuna di esse se esiste in S_6 un sottogruppo di ordine 4 che la contenga.


Ho usato la sintassi di LaTeX, spero si capisca.
Ciao.
lorandrum
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Messaggioda Woody » 20/07/2005, 19:04

1)Il polinomio a(x) ha 2 radici in Z_3[x]: 1, 2. Dunque:
a(x)=(x-1)*(x-2). Poichè Z_3 è un campo, allora Z_3[x] è un PID, dunque il quoziente Z_3[x]/(a) non è un dominio.
L'insieme dei divisori di zero del suddetto quoziente è l'insieme delle classi di polinomi: P(x)+(a(x)) div da zero app. a Z_3 tali che esiste Q(x)+(a(x)) div da zero tale che: P(x)*Q(x) app. a (a(x)), ovvero l'insieme dei polinomi P(x) tali che:
(x-1)|P(x) oppure (x-2)|P(x); dunque l'insieme dei div. di zero cercato è l'unione degli ideali: ((x-1)) , ((x-2)) .
Alla seconda parte ci sto pensando.
Woody.
Woody
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Messaggioda Woody » 20/07/2005, 19:48

Gli invertibili non sono divisori di zero, quindi ogni invertibile del quoziente ha la forma: x^n + (a(x)) .
Oss: x^n + (a) = x^m + (a) <-->
x^n - x^m app. a (a) <--> (supp. n>=m)
a(x)|x^m(x^(n-m) - 1) <--> (poichè 2=-1 e per Ruffini)
2^(n-m)-1=0 e 1^(n-m)-1=0 <--> n-m è pari.
Inoltre si ha che: (x+(a))*(x+(a))=x^2+(a)=(x^2-1+(a))+(1+(a))=
((x-2)*(x-1)+(a))+(1+(a))=1+(a) . Dunque gli invertibili del quoziente sono: 1+(a) , x+(a) .
Il secondo punto riguarda un argomento che non ho ancora studiato.
Saluti, Woody.
Woody
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