Radicali....liberi...

Messaggioda cavallipurosangue » 25/07/2005, 16:46

A parte gli scherzi ho provato a risolvere questo quesito:
dimostrare che per ogni intero n>=1, il numero reale sqrt(4n-1) è irrazionale: sqrt(4n-1)=a / a appartiene ad N.
4n=a^2+1, che non ha sluzioni al'interno dell'insieme N, dato che il primo membro è sempre multiplo di 4, mentre il secondo o è dispari o, se è pari, non è multiplo di 4. In questo modo non si hanno soluzioni intere. cosa ne dite?

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Messaggioda Pachito » 25/07/2005, 17:20

OK.
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Messaggioda Woody » 25/07/2005, 21:10

Scusa ma non ho capito cosa hai fatto!
Innanzitutto: vuoi dimostrare che sqrt(4*n+1) o sqrt(4*n-1) è irrazionale?
Inoltre: Tu hai scritto: sqrt(4*n-1)=a con a naturale; ma dovresti scrivere: sqrt(4*n-1)=p/q con p,q interi coprimi.
Saluti.

Woody
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Messaggioda cavallipurosangue » 25/07/2005, 21:14

Boh non lo so io ho provato quello che mi veniva in mente, ma in realtà io non ho mai studiato niente di ciò a scuola, quindi se mi illuminassi mi faresti un piacere..

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Messaggioda Woody » 25/07/2005, 21:41

Poniamo per assurdo: sqrt(4*n-1)=p/q con p,q coprimi. Allora:
4*n-1=p^2/q^2 --> (4*n-1)*q^2=p^2 . Poichè p,q coprimi risulta:
p^2 divide 4*n-1; tuttavia evidentemente 4*n-1 divide p^2; dunque:
4*n-1 = p^2 ; segue, per il ragionamento che avevi già fatto, che:
p^2 = -1 mod4 ; ma non esiste un numero intero n tale che n^2 = -1 mod4. Assurdo. CVD.
Ciao!

Woody
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Messaggioda cavallipurosangue » 25/07/2005, 21:51

Forse ho capito, ma vorrei essere sicuro di una cosa: cosa significa esattamente che due numeri sono coprimi?
Grazie..

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Messaggioda Pachito » 25/07/2005, 23:41

Coprimi = primi tra di loro
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Messaggioda cavallipurosangue » 26/07/2005, 01:40

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Woody</i>

Poichè p,q coprimi risulta:
p^2 divide 4*n-1; tuttavia evidentemente 4*n-1 divide p^2; dunque:
4*n-1 = p^2 ; segue, per il ragionamento che avevi già fatto, che:
p^2 = -1 mod4 ; ma non esiste un numero intero n tale che n^2 = -1 mod4. Assurdo. CVD.
Ciao!

Woody
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Da qui in poi mi torna difficile seguirti, soprattutto all'inizio non capisco che passaggi fai. Magari dai per scontato delle cose che io non so, dato che per me sono cose nuove.. Ti ringrazio per la pazienza[:I]

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Messaggioda karl » 26/07/2005, 15:56

L'eguaglianza (4n-1)q^2=p^2 si puo' scrivere in due modi diversi:
1° <b> [(4n-1)q^2]/(p^2)=1 </b>
Da qui si vede che,essendo il secondo membro intero,lo deve essere
anche il primo.Cio' implica che p^2 divida esattamente il numeratore
e poiche' p^2 non puo' dividere q^2 in quanto p e q sono primi tra
loro ne segue che p^2 deve dividere 4n-1.
2° <b> p^2/(4n-1)=q^2</b>.Anche qui ,essendo il secondo membro intero,ne viene che (4n-1) deve dividere esattamente p^2.
In conclusione l'uno divide l'altro esattamente e percio'
p^2=4n-1 (e quindi q=1).
Quest'ultima eguaglianza ci dice che il resto della divisione
di p^2 per n e' -1 mentre il quoziente e' 4.Nella teoria delle
congruenze cio' si esprime col dire che p^2 e' congruo a -1
modulo 4, ma dalla stessa teoria si ricava che nessun numero
al quadrato ha questa proprieta'(in altre parole 4n-1 non
puo' essere un quadrato perfetto) e dunque sqrt(4n-1) non puo'
essere razionale ne' tantomeno intero.
Ciao.
P.S.
Se vuoi inoltrarti nel difficile campo della Teoria dei Numeri
(oltre che frequentare questo ottimo sito ) vai anche sul
Forum delle olimpiadi delle matematiche.
karl
 

Messaggioda cavallipurosangue » 26/07/2005, 17:37

soltanto con il primo modo si puo dimostrare uguale? non mi sembra che alla fina sia dimostrata la tesi.

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