Prodotti

Messaggioda karl » 20/09/2005, 16:45

Visto che LupoGrigio ha sollevato l'interessante
problema dei prodotti infiniti ,ve ne propongo uno
io (anche questo abbordabile):
Immagine
Ciao.
karl
 

Messaggioda Fury » 20/09/2005, 18:32

Non vorrei dire 'na cavolata, però secondo me viene 1:
il risultato della produttoria sarà una funzione frazionaria
con il numeratore e il denominatore entrambi di grado n(->+00),
quindi, avendo lo stesso grado, il limite per n che tende a +inf
è uguale al rapporto dei coefficienti di grado massimo, che è sempre 1.
credo [:)]
Fury
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Messaggioda MaMo » 20/09/2005, 18:41

No Fury. Il risultato è 2/3. Però bisogna dimostrarlo .....
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Messaggioda Fury » 20/09/2005, 18:44

si, è vero, ho appena visto graficamente con derive.... ma teoricamente, perchè viene così?
Fury
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Messaggioda Woody » 20/09/2005, 18:46

Il prodotto converge (lo si può vedere trasformandolo in una serie di logaritmi). Però come fai a dire che fa 2/3?

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Messaggioda Fury » 20/09/2005, 18:54

non riesco a capire! mi sembrava proprio che il mio ragionamento filasse...
sto provando a calcolare qualche prodotto parziale, ma niente, mi viene sempre
uguale a 1. 2/3 l'ho visto solo graficamente!
Fury
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Messaggioda MaMo » 20/09/2005, 19:01

Piccolo indizio: io lo avrei chiamato "prodotto telescopico".
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Messaggioda Fury » 20/09/2005, 19:28

ho scoperto come fare!!!!! ora se avete un attimo di pazienza posto un'immagine!
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Messaggioda Fury » 20/09/2005, 19:39

falso allarme, ma può portare sulla giusta strada! provate a guardare!
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Messaggioda Thomas » 20/09/2005, 21:47

scusate se rubo questo problema, ma mi devo rilassare con un bel problemino (sono un pò teso per vari motivi ed inoltre nn ho nulla da fare). Questa è la mia soluzione...

Scompongo con le identità:

a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)
a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)

e riscrivo riarrangiando:

f(n)=[(2-1)(3-1)(4-1)...(n-1) / (2+1)(3+1)...(n+1)] *
[(2^2+1+2)(3^2+1+3)...(n^2+1+n) / (2^2+1-2)(3^2+1-3)...]...(n^2+1-n)

forse è meglio la forma compatta:

f(n)= Prod[i=2..n] (i-1)/(i+1) * Prod[i=2..n] (i^2+1+i)/(i^2+1-i)

Le due produttore sono due telescopice, la prima dà subito 2/[n(n+1)], mentre per la seconda si osserva che

(i+1)^2+1-(i+1)=i^2+i+1

e la seconda telescopica semplificando in virtà dell'identità sopra dà (se non ci si crede la si scriva per esteso con i numeri!)

(n^2+n+1)/3

quindi mettendo assieme

f(n)= 2/3 *(n^2+n+1)/(n^2+n)

con limite 2/3

ciao
Thomas
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