Vero o Falso in Algebra (cerco aiuto!)

Messaggioda Empty Head » 20/09/2005, 19:58

Mi serve qualche buona anima che mi dica se queste affermazioni sono vere o false.


esercizio 1

sia A={a/b € Q : a/b è ai minimi termini e 3 non divide b}

1) A è un gruppo rispetto all'addizione
2) A è un ideale di R
3) A contiene divisori dello 0
4) Z è contenuto in Q
5) A è chiuso rispetto al prodotto

affermazioni 1

1) il gruppo D4 è abeliano
2) " " " è ciclico
3) se f:Z--->Z è una funzione invertibile , allora f è iniettiva
4) esiste una biiezione fra C e R[x] / (x^2+1)
5) l'anello Z7[x]/(f) con f=x^3+5x^2+5x-1 è un campo
6) ogni sottogruppo di S3 è normale
7) se z=cos(fii) + i sen(fii) € C allora 1/z = cos(-fii) + i sen(-fii)
8) se f : Z--->Z è una funzione tale che f ° f è la funzione identità , allora f è suriettiva
9) se fii : G ---> H è un omomorfismo di gruppi e ker fii = {1G} allora fii è iniettiva
10) il gruppo D4 contiene sottogruppi normali
11) l'anello C[x] è un campo
12) ogni funzione biiettiva è invertibile

affermazioni 2

1) R\Q è chiuso per somma
2) {a-(radice di 37 * b) : a,b € Z} è chiuso per prodotto
3) R\Z è chiuso per somma
4) l'insieme dei polinomi {f€R[x] : f(0) = 1} è chiuso per prodotto
5) {a+ib : a,b € N e a,b maggioreuguale 0} è un gruppo rispetto alla somma
6) " " " " " è chiuso rispetto al prodotto
7) C \ {z^2 : z € C} = insieme vuoto
8) R \ {x^3 : x € R} = insieme vuoto
9) ogni elemento di un gruppo ciclico è un generatore
10) l'insieme delle matrici 4 x 4 invertibili ad elementi in Z3 è chiuso per somma
11) l'insieme degli elementi invertibili di un anello è chiuso per somma
12) il gruppo S5 contiene un sottogruppo di ordine 4
13) l'insieme {x € R : 0 minoreuguale x} è un monoide rispetto alla moltiplicazione
14) l'insieme {x € R : x maggioreuguale x} è un monoide rispetto alla moltiplicazione
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Messaggioda Woody » 21/09/2005, 13:53

Esercizio(1) A=Z[3^(1/3)] che è un sottoanello di R. Segue:
1)vero (in quanto sottoanello)
2)falso (contiene l'unità di R ma è diverso da R)
3)falso (in quanto sottoanello di R)
4)vero (in quanto sottoanello)
Saluti,

Woody
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Messaggioda Empty Head » 21/09/2005, 14:36

Rispondete agli esercizi se avete tempo , grazie

(Entro stasera vi pregooooo!!!!!!)
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Messaggioda Woody » 21/09/2005, 14:46

Esercizio (2) A = Q_3 sottoanello di R.
1) vero (in quano sottoanello)
2) falso (contiene l'unità di R ma è diverso da R)
3) falso (sottoanello di R)
4) vero (3 non divide 1)
5) vero (sottoanello)

Esercizio (3)
1) Non conosco l'argomento
2) Non conosco l'argomento
3) Banalmente vero per qualunque funzione di un insieme in un altro!
4) Esiste addirittura un isomorfismo tra essi.
5) vero se e soltanto e f non ha radici in Z7[x].
6) Non conosco l'argomento
7) vero
8) vero perchè f è evidentemente invertibile
9) credo sia vero
10)non conosco l'argomento
11)falso (ogni polinomio di grado maggiore di zero è non invertibile)
12)banalmente vero

Esercizio (4)
1) vero (è infatti uno spazio vettoriale su Q)
2) vero (è un sottoanello di R)
3) vero
4) vero (la valutazione di polinomi è un omomorfismo di anelli)
5) falso (manca l'opposto)
6) falso (esempio: (1+i)*(1+2i) = -1+3i )
7) vero
8) vero
9) non conosco l'argomento
10)falso
11)falso
12)non conosco l'argomento
13)vero
14)vero (tale insieme è R)

Sono disponibile per spiegazioni.
Saluti,

Woody
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Messaggioda Empty Head » 21/09/2005, 18:36

Be ti ringrazio per le risposte

se riesci a darmi una spiegazione veloce delle tue conclusioni per ciò che sei riuscito a fare mi saresti ancor più di aiuto (sempre se riesci in serata), mi butti giù 2 righe...

in più ti lascio queste due ultime cose (sempre vero o falso)


affermazioni

1)se X è un insieme finito , allora ogni funzione iniettiva f:X--->X è suriettiva
2)l'insieme delle matrici invertibili 2 x 2 ad elementi in Q è chiuso per il prodotto
3)l'insieme {x € R: x>1} è un monoide rispetto al prodotto
4)l'insieme delle matrici 4x4 ad elementi in Z3 è chiuso per somma

esercizio

siano
A=(prima colonna=cos(3,14/3) e sin(3,14/3) seconda colonna=-sin(3,14/3) e cos(3,14/3))

e B=(prima colonna=0 e 1 seconda colonna= 1 e 0)
due matrici ("te le ho scritte così perchè non sapevo come farle")
e siano fii e fjj le applicazioni lineari del piano cartesiano in se indotte da A e B rispettivamente.

1) fii è suriettiva
2) fii ° fjj = fjj ° fii
3) esistono h , k € {1,2,3,...} tali che fii^h = fjj^k
4) fii ° fjj è iniettiva
5) l'insieme {A^k : k € Z} è infinito


grazie mille !!!
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Messaggioda Valerio Capraro » 21/09/2005, 20:27

AGGIUNGO QUALCOSA A QUANTO FATTO DA WOODY:

ESERCIZIO 2)

1,2) D4 NON è Nè CICLICO Nè ABELIANO (BASTA SAPERE COME è FATTO D4!)
6) RICORDANDO CHE (A+IB)(C+ID) = (AC - BD) + I(AD + BC) SI DEDUCE SUBITO CHE L'ASSERZIONE è FALSA PERCHè A,B,C,D >= 0 NON IMPLICA AC - BD >= 0.
7) è SICURAMENTE VERO (TRATTASI DI UN TEOREMINO BANALE CHE DOVRESTI CONOSCERE)
10) D4 CONTIENE UN SGR CICLICO DI ORDINE 4 (GENERATO DALLA ROTAZIONE); RICORDANDO CHE OGNI SOTTOGRUPPO CHE HA ORDINE LA METà DEL GRUPPO DI PARTENZA è NORMALE SI DEDUCE CHE L'ASSERZIONE è ESATTA.

ESERCIZIO 3)

9) ASSOLUTAMENTE NO! BASTI PENSARE A (Z4,+) CHE è CICLICO MA 2 NON LO GENERA IN QUANTO HA PERIODO 2.

12) CERTAMENTE, BASTA PRENDERE IL CICLICO GENERATO DA (1234).

PASSO AGLI ULTIMI ESERCIZI CHE HAI POSTATO

1) SICURAMENTE VERO (IL SOLITO TEOREMINO BANALE)
2) CERTAMENTE VERTO (è UNA BANALE VERIFICA)
3) TI RIPETO CHE NON HO IDEA DI COSA SIA UN MONOIDE
4) VERISSIMO (LA SOLITA OVVIA VERIFICA)

L'ULTIMO... PERDONAMI LA FRANCHEZZA, MA ORA NON MI VA PROPRIO DI FARLO..

CIAO, UBERMENSCH
Valerio Capraro
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Messaggioda Woody » 21/09/2005, 21:18

Affermazioni

1)Vero perchè un insieme finito non ha sottoinsiemi propri equipotenti a sè stesso.
2)Vero
3)falso perchè 1 non app. all'insieme.
4)vero

Esercizio
A = [cos(pi/3) -sin(pi/3) fii |-> A
sin(pi/3) cos(pi/3)] fjj |-> B
B = [0 1
1 0]

1)vero perchè A è invertibile.
2)Falso. Si può vedere questo fatto svolgendo i due prodotti: A*B, B*A. Geometricamente si può osservare che A è una matrice di rotazione, mentre B è associata alla riflessione rispetto alla prima bisettrice; dunque la composizione non può essere commutativa.
3)vero. Osserviamo che A rappresenta una rotazione di pi/3 in senso antiorario(il senso di rotazione si vede osservando il determinante); dunque A^6=Id. Osserviamo inoltre che B^2=Id. Dunque A^6=B^2.
4)vero (composizione di due biiezioni)
5)falso. Infatti: A^6 = Id. Dunque tale insieme contiene 6 elementi.

Saluti,

Woody
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