da Valerio Capraro » 18/11/2005, 17:10
2) Sia F una estensione finita di E, dal teorema dell'elemento primitivo, allora F=E[b] per un qualche b. Cominciamo col mostrare che esiste un naturale n tale che b^n sta in E.
Considero la torre di campi
E[b] >= E[b^2] >=....... >E
se tutte tali inclusioni sono uguaglianze allora b sta in E, altrimenti esiste k tale che E[b] > E[b^k]. Considero allora la torre:
E[b] > E[b^k] >= E[b^2k] >= ...... E
se tutte tali inclusioni tranne la prima sono uguaglianze allora b^k sta in E, altrimenti esiste h tale che E[b^k] > E[b^h]....
ripetendo il procedimento troverò un n tale che b^n sta in E, perchè altrimenti avrei infinite estensioni intermedie fra E ed E[b].
A questo punto considero il polinomio X^n - b^n in E[X]. Sia z una radice primitiva n-esima dell'unità, osservo che z appartiene ad E[b] in quanto o z=a^s per qualche s, oppure, se z !=a^s e z non appartiene ad E, potrei fare l'estensione E[z] di E che è una estensione non banale e non contiene a, contraddicendo così la massimalità di E fra i campi che non contengono a.
Quindi E[b] contiene tutte le radici distinte di X^n - b^n che sono della forma bz^k . Sia sigma un elemento del gruppo di Galois allora sigma è determinato univocamente dall'immagine di b, ovvero dal k dell'esponente. Quindi definisco
psi: Gal(E[b]:E) --> Zn tale che psi(sigma)=k
si verifica subito che psi è un omomorfismo di gruppi e che è iniettivo. quindi Gal è ciclico in quanto si identifica ad un sottogruppo di un gruppo ciclico.
ihih.. carina no?? speriamo giusta
ciao, ubermensch