Trovare una biigezione

[lars]

può non essere continua.
Il teorema di Waierstrass dice che se la funzione è continua e l'insieme di definizione è compatto, anche il codominio deve essere compatto, come hai detto appunto tu wedge, ma non credo che valga anche per le funzioni non continue(uffa, per dimostrarlo mi basterebbe dare un controesempio, ma non ne sono ancora in grado! Prima o poi ci riuscirò! ) .
Duro come problemino eh!
Io sono un novellino in analisi, però questi problemi mi fanno appassionare alla materia! Mi piace sempre di più... anche se sono ancora scarso nelle dimostrazioni!

[david_e]

Vediamo un po'.

La funzione $f$:

$ x = m/n $ con $m \leq n$ e $m=n=1$ o $m,n$ primi fra loro con $m<n$ allora:

$ f(x) = m/(n+1) $

Ed:

$ f(0)=0 $

e

$ f(x) = x \qquad \forall x \in RR \\ QQ \cap [0,1] $

Questa funzione manda $[0,1]$ in $[0,1)$ ed e' invertibile.

[lars]

Grande!! Piano piano ci stiamo avvicinando a [0,1[ -> ]0,1[ .
Facendo l'inversa della funzione di david_e troviamo la risposta ad un quesito del mio professore: la biigezione fra [0,1[ -> [0,1] .
Grazie, mi state facendo capire molte cose!

[david_e]

Provo anche questa.

E' come quella di prima. Solo che:

Se $x=m/n$ con $m<n$, $m,n \in NN \\ \{0\}$ e $m,n$ primi fra loro allora $f(x)=(m+1)/(n+2)$

Ed:

$f(x)=x \qquad \forall x \in RR \\ QQ \cap [0,1)$

Ed:

$f(0)=1/2$

Questa dovrebbe mandare [0,1[ in ]0,1[.

*** EDIT ***
Si noti che non ci sono punti oltre allo 0 che vengono mandati in $1/2$ infatti se ce ne fossero sarebbe:

$(m+1)=2n+4 \implies m=2n+3 \implies x>1$

[lars]

non capisco perchè: $(m+1)=2n+4
Come hai fatto a trovare questa equazione?

[david_e]

No scusa ho sbagliato!

L'equazione era:

$n+2=2(m+1)$

Da cui:

$n=2m$

Per cui $1/2$ viene mandato in se stesso!

Quindi la mia funzione non va bene...

[lars]

Se $x=m/n$ con m,n∈ℕ\{0}, $m<n$, $m/n!=1/2$ e m,n primi fra loro allora f(x)=$(m+1)/(n+2)$

Ed:

$f(x)=x ∀x∈ℝ\ℚ∩[0,1)$

Ed:

$f(0)=1/2$

Così dovrebbe funzionare vero??

[david_e]

Si ma $1/2$ dove lo mandi?

[lars]

Giusto, $1/2$ dove lo mando???
Accidenti!!!

[lars]

Se $x=m/n$ con m,n∈ℕ\{0}, $m<n$ allora f(x)=$(m^2+1)/(n^2+2)$

Ed:

$f(x)=x ∀x∈ℝ\ℚ∩[0,1)$

Ed:

$f(0)=1/2$

Così mi sa che funziona, Potreste controllare per favore?