Avevo il dubbio se rispondere perchè corrispondeva a fare un piccolo "Bignami" delle permutazioni, comunque ecco la sintesi che mi è venuta fuori. Non scrivo tutte le dimostrazioni ci vuole troppo tempo, mi sono limitato a degli accenni o degli enunciati.
Woody ha scritto:1) Quale è il massimo ordine di una permutazione in $S^n$ e in $A^n$ ?
Devi ricordarti che ogni permutazione si può scomporre nel prodotto di permutazioni cicliche (dette a cicli) disgiunte. I particolare i $2$-cicli sono detti scambi.
la generica permutazione ciclica di $S^n$ la scrivi come $(a_1,a_2,...,a_m)$ con $m leq n$ con il seguente significato: $a_i rightarrow a_{i+1}$ e $a_mrightarrow a_{1}$ tramite la permutazione. Una permutazione ciclica di ciclo $m$ ha ordine m. Quindi il massimo ordine è $n$ .
Woody ha scritto:2) Dato $k\in\mathbb(N)$, quante sono le permutazioni di ordine $k$ in $S^n$ e in $A^n$ ?
devi calcolare i clicli disgiunti di lunghezza $k$ e poi considerare tutte le possibili composizioni, tiene presente che i cicli disgiunti commutano quindi non serve considerare l'ordine. Ora fai tu
Woody ha scritto:3) La dimostrazione che $A^n$ è semplice $\forall n\geq 5$ ?
Ogni $k$-ciclo (permutazione ciclica di ordine $k$) si scompone nel prodotto di scambi ($2$-cicli), quindi ogni permutazione di scompone nel prodotto di scambi, gli elementi di $A^n$ sono gli permutazioni con un numero di scambi pari. $A^n$ è un gruppo normale e si dimostra che per $n geq 5$ ogni sottogruppo normale di $S^n$ ha come sottogruppo $A^n$. Segue che $A^n$ è semplice. Infatti se $H$ è un sottogruppo normale di $A^n$ se consideri $bar{H}=cap{sigma^{-1}H sigma : sigma in S^n}$ hai che è normale in $S^n$ quindi contiene $A^n$, ed è allo stesso tempo contenuto in $A^n$ da cui segue il risultato.
Saluti
Mistral