gugo82 ha scritto:Vedi cosa riesci a fare per la biiezione \( \displaystyle ]-1,1[\to [-1,1] \) usando un blocco del genere:
(In
blu i lati del quadrato che si possono toccare con il grafico; in
azzurro i lati del quadrato che non devono essere toccati; in
rosso pezzi di grafico della funzione -i punti rappresentano valori presi in punti particolari-).
Iterando il blocco via via nel quadrato più piccolo che si forma centralmente si ottiene una figura simile:
e graficamente è evidente che la funzione con il grafico in rosso è una biiezione di \( \displaystyle ]-1,1[ \) in \( \displaystyle [-1,1] \) .
La dimostrazione è alrettanto semplice.
Tuttavia da altre parti questa costruzione è stata accusata di essere "rudimentale" e "grossolana" (da un tizio che si occupa di Algebra... Si vede che gli algebristi non sono abituati a prendere a martellate le cose per farle entrare dove vogliono loro
*), quindi ne propongo una più semplice: in questo caso prendo per semplicità gli intervalli \( \displaystyle ]0,1[ \) e \( \displaystyle [0,1] \) .
Fissa una successione \( \displaystyle (a_n) \subset ]0,1[ \) con elementi distinti, definisci \( \displaystyle f:[0,1]\to ]0,1[ \) ponendo:
\( \displaystyle f(x):=\begin{cases} a_0 &\text{, se } x=0 \\ a_1 &\text{, se } x=1 \\ a_{\nu +2} &\text{, se } x=a_\nu \text{ per qualche } \nu \in \mathbb{N} \\ x &\text{, altrimenti} \end{cases} \)
e verifica che \( \displaystyle f(x) \) è una biiezione di \( \displaystyle [0,1] \) in \( \displaystyle ]0,1[ \) .
__________
* Sarà perchè loro i buchi se li creano su misura per infilarci quello che hanno, al contrario degli Analisti.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)