dimostrazione sulla cardinalità: quale è lo sbaglio?

[Martino]

[LelleL]

Sperando di non esasperare nessuno con questo ulteriore intervento precedo con il dire:
$\epsilon_n$ è una successione infinitesima
Se definisco la biezione f così
$f=lim_{n \to \infty}f_n$ con $f_n: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ e $f_n=(-1/(1-2*\epsilon_n))*x+((1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n))$ che dite?

[gugo82]

Fissato \( \displaystyle x \) , mandiamo \( \displaystyle n\to +\infty \) : allora \( \displaystyle f_n(x)\to 1-x=:f(x) \) e non mi pare che tale funzione abbia le proprietà richieste.

Te l'ho detto, la tua \( \displaystyle f(x) \) deve essere un po' "strana"; anzi, se hai studiato Analisi I dovresti sapere anche perchè e "come" deve essere strana.

[LelleL]

boh ho sempre fatto schifo quando si trattava di trovare esempi di funzioni che avessero delle proprietà richieste.
Se mi dai tu un esempio? io c'ho pensato ma non mi viene

[gugo82]

Vedi cosa riesci a fare per la biiezione \( \displaystyle ]-1,1[\to [-1,1] \) usando un blocco del genere:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

(In blu i lati del quadrato che si possono toccare con il grafico; in azzurro i lati del quadrato che non devono essere toccati; in rosso pezzi di grafico della funzione -i punti rappresentano valori presi in punti particolari-).

[gugo82]

Vedi cosa riesci a fare per la biiezione \( \displaystyle ]-1,1[\to [-1,1] \) usando un blocco del genere:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

(In blu i lati del quadrato che si possono toccare con il grafico; in azzurro i lati del quadrato che non devono essere toccati; in rosso pezzi di grafico della funzione -i punti rappresentano valori presi in punti particolari-).

Iterando il blocco via via nel quadrato più piccolo che si forma centralmente si ottiene una figura simile:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

e graficamente è evidente che la funzione con il grafico in rosso è una biiezione di \( \displaystyle ]-1,1[ \) in \( \displaystyle [-1,1] \) .
La dimostrazione è alrettanto semplice.

Tuttavia da altre parti questa costruzione è stata accusata di essere "rudimentale" e "grossolana" (da un tizio che si occupa di Algebra... Si vede che gli algebristi non sono abituati a prendere a martellate le cose per farle entrare dove vogliono loro*), quindi ne propongo una più semplice: in questo caso prendo per semplicità gli intervalli \( \displaystyle ]0,1[ \) e \( \displaystyle [0,1] \) .
Fissa una successione \( \displaystyle (a_n) \subset ]0,1[ \) con elementi distinti, definisci \( \displaystyle f:[0,1]\to ]0,1[ \) ponendo:

\( \displaystyle f(x):=\begin{cases} a_0 &\text{, se } x=0 \\ a_1 &\text{, se } x=1 \\ a_{\nu +2} &\text{, se } x=a_\nu \text{ per qualche } \nu \in \mathbb{N} \\ x &\text{, altrimenti} \end{cases} \)

e verifica che \( \displaystyle f(x) \) è una biiezione di \( \displaystyle [0,1] \) in \( \displaystyle ]0,1[ \) .

__________
* Sarà perchè loro i buchi se li creano su misura per infilarci quello che hanno, al contrario degli Analisti.

[alfaceti]

Mi piace di più quella "grossolana"

[j18eos]

@gugo Ieri sera riflettevo su come deve essere la funzione da te disegnata in parte, ed ero giunto alla conclusione (per come lo scrivi tu) di prenderla a martellate, e devo dire che è una funzione molto carina. Da algebrista, non capisco la grossolanità e la rudimentalità, dato che i primi algebristi moderni; tra cui il grande Cantor, avrebbero agito come te. Infine, se non mi sbagliassi sull'autore di tale cahata: non ragioniam di lor, ma guarda e passa (Divina Commedia - Inferno, canto III, verso 51).

[gugo82]

[OT]

Grazie j18eos.

Ad ogni modo, gradirei sentire anche l'opinione degli altri algebristi (Martino in testa) sulla questione.


P.S.: Con chi mi ha detto quelle cosette sulla mia costruzione (e che ha suggerito l'altra, spacciandola come "più elegante") c'è stato più o meno il seguente scambio:

G.: "Vero, la tua è più semplice, ma la mia è più artistica... Però non è che si può fare a meno di tutte quelle discontinuità? So che la funzione non può essere né monotona, né globalmente continua, però in linea di principio si potrebbe fare di meglio."

l'altro: "Perchè tutta questa preoccupazione per le discontinuità?"

G.: "Niente d'importante. Diciamo che è più una questione estetica che mi preoccupa... Però richiedere meno discontinuità possibili potrebbe essere visto come una richiesta di ottimalità della soluzione; in tale ottica, perchè si dovrebbe spacciare una soluzione con infinite discontinuità come la "più elegante", se sono disponibili soluzioni con proprietà analitiche migliori?".

[/OT]

[j18eos]

Dato che può aiutare "altri" bimbi come me, espongo le idee che ho seguito (e forse anche gugo) per risolvere il problema.

Si vuole costruire una biezione \( \displaystyle f \) tra \( \displaystyle ]0;1[ \) e \( \displaystyle [0;1] \) , tale \( \displaystyle f \) (rispetto alla topologia naturale di \( \displaystyle \mathbb{R} \) indotta su tali insiemi) non può essere continua, in quanto se lo fosse \( \displaystyle f \) trasformerebbe i punti di taglio di \( \displaystyle ]0;1[ \) in medesimi di \( \displaystyle [0;1] \) , ovvero: \( \displaystyle f(]0;1[)=]0;1[ \) .
Quindi \( \displaystyle f \) compie dei salti; nulla vieta di considerarla monotòna, ma dato che salta non resta che costruirla monotòna a tratti; facendo delle prove si ottiene che deve avere infiniti salti.

DOMANDA: Ma la funzioni proposte sono entrambe continue quasi ovunque secondo Lebesgue? Perché mi sembrano tali, ma non vorrei sbagliarmi.

OUT OF SELF Prego gugo, di nulla!

Non ho capito molto di tale "dialogo" tra gugo (G.) e l'altro!

Aggiungo come risposta al tuo sfogo: gugo, se tu avessi la voglia di discutere sui "buchi", meglio che ti rivolga ad un cosmologo\astrofico e non ad un topologo.